книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

ускорения а направлен внутрь траектории. Если полное ускорение а будет направлено от нормали в направлении движения (рис. 97, а), то абсолютная величина скорости

где а — угол между направлением полного ускорения а и касательной к траектории.

Простейшим и наиболее важным примером криволинейного движе­ ния является случай, когда точка движется равномерно,

т. е. с постоянной скоростью, по окружности. Так переме­ щается каждая точка сверла и фрезы, токарного патрона, планшайбы карусельного станка, ротора электродвигателя.

На рис. 98 показаны траектория такого движения и ряд векторов скорости 0, соответствующих последовательным равным промежуткам времени. Все векторы скорости имеют одинаковую величину (их длина постоянна), но разное направление. Всякий раз, когда точка, двигаясь с постоян­ ной скоростью, описывает окружность, вектор скорости v равномерно поворачивается на 360°. Так как величина скорости не изменяется, то касательное ускорение отсутст­ вует: аТ = 0. Нормальное ускорение ан в каждый момент времени направлено перпендикулярно касательной к траек­ тории и, следовательно, всегда проходит по радиусу через

130

центр О окружности. Найдем величину нормального уско­ рения ан. Пусть точка за некоторое время At переместилась из места А траектории в место В (рис. 99). Скорость точки

Рис. 97. Составляющие вектора ускорения а при увеличении (а) и уменьшении (б) скорости v

в момент времени t0 равна vg, а в момент времени tx — vx. Эти векторы одинаковы по величине и направлены по каса­ тельным к окружности в местах А и В. Перенесем вектор v0

В и О, а величины векторов скорости v0 и 0Х одинаковы и равны v. Поэтому

Разделим обе части последнего равенства на А^:

~ Г ' "дТ "

Будем уменьшать промежуток времени At.

При этом отношении -д-" стремится к величине нормального ускорения с н , а отношение д ^ к величине скорости v,

так как скорость точки изменяется только по направлению и остается постоянной по величине (равномерное движение по окружности). Окончательно получим:

132

где величина нормального ускорения ан определяется по формуле (34).

В заключение отметим, что прямолинейное движение точки, как равномерное, так и неравномерное, является частным случаем криволинейного движения. Это хорошо видно на примере движения точки по окружности. Если бесконечно увеличивать радиус окружности, то траектория точки будет приближаться к прямой на все большем участке. При увеличении радиуса вектор нормального ускорения аа уменьшается и в пределе станет равным нулю. Останется только ускорение в направлении траектории, которая превратится в прямую линию.

§47. Вопросы для повторения и упражнения

1.Как направлена скорость точки, движущейся по криволинейной траектории?

2.Что называется касательным ускорением и что оно характе­

ризует?

3.Как определить величину и направление ускорения точки, дви­ жущейся по криволинейной траектории?

4.Как движется точка, если величина скорости постоянна, а ее направление изменяется с течением времени?

5.Две точки движутся с одинаковыми скоростями по концентри­ ческим окружностям. У какой точки больше центростремительное ускорение?

6.Искусственный спутник движется по круговой орбите на высоте 650 км и совершает один оборот вокруг Земли за 94 мин. Радиус Земли

скорости и ускорения конца стрелки. Постройте векторы скорости и

Глава восьмая ПРОСТЕЙШИЕ Д В И Ж Е Н И Я ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 48. Движение твердого тела и движение точки

В предыдущих главах мы изучили движение материаль­ ной точки. Рассмотрим теперь, как связать движение тела с движением составляющих его точек. Очень часто можно

133

определить перемещение, скорость и ускорение любой точки тела, если известны характеристики движения огра­ ниченного числа отдельных его точек. Это выполнимо в тех случаях, когда взаимное расположение отдельных точек тела при движении практически не изменяется, т. е. при движении тело не деформируется. Если деформации тела малы и не влияют на его движение, то ими можно прене­ бречь и рассматривать тело как недеформируемое. В этом случае говорят, что изучается движение абсолютно твер­ дого тела.

При изучении движения твердого тела ограничимся рассмотрением только плоских движений, при которых все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Подавляющее большинство механизмов, применяемых в технике, является плоскими механизмами. Они представ­ ляют собой сочленение твердых тел, совершающих плоско­ параллельное движение. Например, при обработке деталей на строгальных, фрезерных, шлифовальных станках полу­ чают плоские поверхности. Это означает, что детали станка, обрабатываемая заготовка и режущий инструмент должны совершать плоскопараллельные движения. Только в этом случае мы получим желаемый результат — обработанную плоскость изделия.

При движении твердого тела отдельные его точки пере­ мещаются различно, т. е. по разным траекториям, с раз­ личными скоростями и ускорениями. На рис. 57 показана схема кривошипно-шатунного механизма. Все точки кри­ вошипа перемещаются по окружностям различных радиусов. Все точки ползуна перемещаются по прямолинейным траек­ ториям. Движение шатуна будет более сложным. Его конец, совпадающий с центром шарнира А, перемещается по окруж­ ности, а конец, совпадающий с центром шарнира Б, — по прямой. Траектории всех остальных его точек представляют замкнутые кривые линии.

его точек по известным аналогичным величинам ограничен­ ного числа отдельных его точек.

§ 49. Поступательное движение твердого тела

В общем случае при движении твердого тела разные его точки могут совершать различные перемещения. В частном случае, когда все точки тела совершают одинаковые пере-

134

движения стола плоскошлифовального станка, суппорта и задней бабки токарного станка по направляющим станины, поршня двигателя внутреннего сгорания; детали, перено­ симой конвейером, и др.

Если траектория любой точки тела, движущегося посту­ пательно, является прямой линией, то движение тела называется прямолинейным поступательным. В приведен­ ных выше примерах тела совершают прямолинейное посту­ пательное движение.

(рис. 100). По определению поступательного движения вектор перемещения одинаков для любой точки тела. Это означает, что отрезок прямой, соединяющей две любые

Еще один пример. На рис. 101 показан механизм для передачи вращательного движения от кривошипа / к дру-

135

гому кривошипу 3. Длины кривошипов равны. Длина тяги 2, соединяющей шарниры А и Б, равна расстоянию

2 движется, оставаясь параллельной своему начальному положению. Одновременно точки А, Б и все остальные точки тяги перемещаются по окружностям, радиус которых равен длине кривошипа. На рис. 101 штрихпунктирной линией показана траектория произвольной точки М тяги.

Вцелом тяга совершает круговое поступательное движение.

/2

Рис. 101. Тяга 2 механизма совершает поступательное движение

Обратите внимание на то, что термин «поступательное движение» применим только к движению тела, но не к дви­ жению одной точки. Точка, не имеющая размеров, может двигаться только криволинейно или прямолинейно.

Рассмотрим теперь скорость тела, перемещающегося по­ ступательно. В каждый промежуток времени At перемеще­ ния AS любой точки тела одинаковы. Поэтому одинаковы

AS

и отношения -JJ , а значит, и скорости всех точек посту­

пательно движущегося тела.

Если скорость тела изменяется с течением времени, то за время изменение скорости Av будет одним и тем же для любых точек тела, так как мы доказали равенство их ско­

ростей V. Поэтому одинаковы и отношения а значит, и ускорения всех точек поступательно движущегося тела.

Скорость и ускорение, общие для всех точек поступа­ тельно движущегося тела, называются скоростью и уско­ рением этого тела.

136

Если все точки тела движутся одинаково, то, определив движение одной произвольной его точки, мы вместе с тем определим движение и всех остальных точек, составляющих тело. Поэтому при количественном описании поступатель­ ного движения тела не возникает никаких новых задач по сравнению с теми, которые мы решили при описании дви­ жения материальной точки.

§ 50. Вращательное движение твердого тела

Чтобы осуществить вращательное движение тела, доста­ точно закрепить неподвижно какие-нибудь две его точки, например при помощи подшипников. Прямая, проходящая

был сплошным, то точки, совпавшие с осью вращения, остались неподвижными.

При вращательном движении тела различные его точки движутся по-разному, поэтому первая задача, которую необходимо решить, это отыскать кинематические характе­ ристики, общие для всех точек тела.

Пусть какое-нибудь тело вращается вокруг неподвижной

137

между этими плоскостями называется у г л о в ы м п е р е ­ м е щ е н и е м данного тела или углом поворота. Угол ср служит мерой поворота всего тела в целом. В механике его обычно измеряют в радианах. Напомним, что 1 радиан — это угол между двумя радиусами окружности, длина дуги S между которыми равна радиусу г. Отсюда следует, что угол Ф, выраженный в радианах, равен отношению длины дуги S к радиусу г:

Основное преимущество измерения углов в радианах заключается в том, что величины углов выражаются отвле­ ченными числами. В этом случае угловое перемещение является безразмерной величиной:

г1_м

Однако в любых конечных результатах вычислений угловых перемещений или углов всегда пишут рядом с чис­ ленным значением обозначение «рад» (сокращенное наиме­ нование радиана). Например, при повороте тела на один оборот его угловое перемещение равно:

Если угол измеряют в градусах, то осуществляют перевод единиц измерения с помощью следующего соотно­ шения. При повороте тела на один оборот его угловое пере­ мещение составляет 360° и в радианах 2л рад, поэтому величина радиана в градусном измерении равна:

1 рад = ^ - = 57°17'44".

Вращательное движение тела происходит с определенной

Через промежуток времени At плоскость Я, жестко соеди­

Аф. Разделим величину Аф на At, т. е. ~ .

138

Отношение углового перемещения Аф за некоторый промежуток времени At к величине этого промежутка вре­ мени называется с р е д н е й у г л о в о й с к о р о с т ь ю т е л а .

Обозначив среднюю угловую скорость соср (со — гре­ ческая буква «омёга»), получим:

Средняя угловая скорость соср зависит от величины промежутка времени А^ и не дает представления о быстроте вращения тела в данный момент времени. Будем уменьшать промежуток времени At. Чем меньше величина At, тем точнее средняя угловая скорость характеризует быстроту вращения в данный момент времени, приближаясь к зна­ чению м г н о в е н н о й у г л о в о й с к о р о с т и со.

Основной единицей измерения угловых величин является радиан, а основной единицей времени — секунда. Поэтому единицей измерения угловой скорости служит величина

Так как радиан — это название единицы, не имеющей размерности, то и основная размерность угловой скорости равна [со] = [1/с]. Обычно единицу измерения рад/с ука­

угловая скорость вала электродвигателя 152 рад/с.

В технике часто быстроту вращения твердого тела харак­ теризуют частотой вращения, которая показывает, сколько оборотов вокруг оси совершает вращающееся тело в единицу времени. Единицами измерения частоты вращения являются 1 об/мин (оборот в минуту) или 1 об/с (оборот в секунду). Частоту вращения обозначают латинской буквой п.

Так как и угловая скорость со, и частота вращения п характеризуют быстроту вращения тела, то между ними существует вполне определенная зависимость. Для уста­ новления этой зависимости достаточно знать, что один оборот тела вокруг оси соответствует повороту на угол 2я рад.

139