книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

тело двух сил (рис. 17, а). Изобразим в масштабе чертежа вектор Ft. Затем расположим вектор F2 так, чтобы его начало совпадало с концом вектора Fx- Начало векто­ ра F3 совместим с концом вектора F2. Чтобы тело находилось в равновесии, обязательно должно соблю­ даться векторное равен­

ство:

1^5

\F2

Рис. 17. Варианты (а, б, в) определения равнодействующей и уравновешивающей сил

Силы F2 и Fs направлены по одной прямой в одну сто­ рону. Мы можем заменить их действие на тело действием одной силы F[. Например, можно поднимать тело не двумя тросами, как показано на рис. 16, а одним, который будет

30

тянуть с силой Р[. Эту силу, оказывающую на тело точно такое же действие, как и силы, которые она заменила, называют р а в н о д е й с т в у ю щ е й . В рассматривае­ мом примере сила Р1 является равнодействующей двух сил Р2 и F3:

ствие остальных сил, потому что все силы, действующие на

и уравновешивающих сил для случая, когда на тело дей­ ствуют три силы.

А теперь ответим на такой вопрос: чему равна равно­ действующая всех трех сил Ръ Р2 и Р3, направленных по одной прямой и действующих на тело, находящееся в рав­ новесии? Тело находится в равновесии, если оно покоится или движется прямолинейно и равномерно. Изучая закон инерции, мы видели, что это равносильно случаю, когда на тело не действуют никакие силы. Поэтому на заданный вопрос возможен только один ответ:

Равнодействующая всех сил, действующих на тело, на­ ходящееся в равновесии, равна нулю.

Обозначив равнодействующую силу вектором R, в рас­ сматриваемом примере это можно выразить следующим

31

ничего бы не изменилось. Все сказанное выше справедливо для любого числа сил, действующих на тело.

При решении задач о равновесии тел под действием сил, направленных по одной прямой, иногда применяют следующий прием. Линия действия всех сил одна и та же, а направлений может быть два: в одну сторону вдоль пря­ мой или в противоположную сторону вдоль той же прямой. Одно из направлений выбирают положительным, а проти­ воположное направление считают отрицательным. Силы, направление которых совпадает с выбранным положитель­ ным направлением прямой, считают положительными, а все остальные силы — отрицательными. При таких усло­ виях векторное равенство можно заменить алгебраическим равенством. Рассмотрим, как это можно сделать при сло­ жении трех сил. Направление по вертикали вниз будем

нужно считать отрицательными: — F 2 и — F s , так как эти силы направлены вертикально вверх. Вместо векторного равенства (3)

Выбор положительного направления в каждом кон­ кретном случае зависит от условий задачи и не влияет на окончательный результат. Например, можно было бы счи­ тать положительным направление вверх по вертикали. Тогда нужно принять величины сил F2 и F3 положительными, а величину силы тяжести отрицательной—Fv В этом слу­ чае имеем:

-Fi + Fa + Fa = 0,

умножив на (—1), получим тот же результат: Fx — Fz —F3= = 0.

§13. Равновесие тела под действием сил, направленных под углом друг к другу

Решение задачи о равновесии твердого тела, на которое действуют силы, направленные под углом друг к другу, начнем со случая, когда на тело действуют только две силы. Как показывает опыт, при этом равновесие тела невозможно.

32

Например, рассмотрим тело, подвешенное на нити, или, как его называют, отвес. Отвес находится в покое только тогда, когда сила тяжести и сила, действующая со стороны нити, равны по величине и направлены по вертикали в про­ тивоположные стороны.

Если отклонить тело от этого положения и отпустить его, то оно начнет перемещаться к прежнему положению.

Рис. 18. Равновесие тела под действием трех сил, направленных под углом друг к другу и расположенных в одной плоскости:

а — опыт с грузом, 5 — схема действия сил

На отклоненное тело действует сила тяжести, направлен­ ная вертикально вниз, и сила со стороны нити, направлен­ ная вдоль нити, т. е. под углом к линии действия силы тя­ жести.

Теперь рассмотрим случай, когда на тело действуют три силы, направленные под углом друг к другу и распо­ ложенные в одной плоскости. Выполним следующий опыт. Укрепим два одинаковых динамометра в точках А и Б на некотором расстоянии друг от друга (рис. 18, а). Свяжем их свободные крюки короткими нитями так, чтобы оба динамометра отклонились от вертикального направления. Повесим на нити груз и отпустим его. Вся система придет

в движение: груз опустится, а пружины динамометров растянутся. Затем все тела остановятся и будут находиться в состоянии равновесия. Заметим показания динамометров

Рис. 19. Сложение двух векторов:

а — треугольник сил, б — параллелограмм сил, в — равнодей­ ствующая Fi И уравновешивающая F% силы

няющий начало первого вектора с концом второго, есть сумма обоих векторов. На рис. 19, а выполнено сложение векторов сил F2 и F3 по указанному правилу. Сумма векторов F2 + F3 есть вектор F[ : F't = F2 + F3. Обратите внимание на то, что результирующий вектор F\ являетсясторонойтреугольника, в то время как складываемые векторы F2 и F3 образуют две другие его стороны. Так как сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, то величина результирующего вектора всегда меньше суммы величины складываемых векторов.

Два вектора можно сложить и по-другому. Отложим век­ торы из одной точки. Затем построим параллелограмм так, чтобы оба вектора были его сторонами, и проведем диаго-

34

как для равнодействующих сил справедливы выражения:

величина и направление одной силы сохраняются неиз­ менными. Например, в опыте, рассмотренном выше (см.

Будем удалять точки А и Б друг от друга. При этом угол а (рис. 22) между нитями будет увеличиваться. Для любого положения точек А и Б, т. е. для каждого равно­ весного положения тела, равнодействующая F[ сил F% и

36

F3, действующих со стороны нитей на тело, не изменяется ни по величине, ни по направлению. Ее величина равна ве­ личине силы тяжести, а направлена она всегда вверх по вертикали. С увеличением угла а между линиями действия

Рис. 22. Величины сил, действующих на тело со стороны тро­ сов, значительно увеличиваются с увеличением угла ос между тросами

сил F2 и Fs их величина должна возрастать, так как после сложения сил в любом случае мы должны получить одну и ту же величину равнодействующей F\. Это хорошо видно из рис. 22, на котором все векторы сил изображены в одном масштабе.

§ 14. Равновесие тела под действием произвольного числа сил, сходящихся в одной точке и расположенных в одной плоскости

Увеличение числа сил, действующих на тело, не изме­ няет сущности явлений, рассмотренных в § 12 и 13. Услож­ няются лишь операции сложения векторов сил, вычисления величин равнодействующих, определение их направлений. Общее условие равновесия тела, на которое действуют силы, сходящиеся в одной точке и расположенные в одной плос­ кости, остается прежним: равнодействующая всех сил, действующих на тело, находящееся в равновесии, равна нулю. Если мы обозначим векторы сил Fx, Рг, Р3, /•',-,

37

а их равнодействующую R, то для того, чтобы тело было неподвижно или двигалось равномерно и прямолинейно, необходимо выполнение равенства:

R = F1 + F2 + F3 + ... +F, = 0.

Для упрощения записи обозначают сумму с помощью символа 2 (греческая заглавная буква «сигма»):

Индекс i означает, что нужно взять все слагаемые i — 1,

Равенство (7) можно представить и графически, выпол­ нив сложение векторов сил по общему правилу сложения векторов, с которым мы познакомились в § 13. Пусть, на­ пример, требуется сложить четыре силы, сходящиеся в од­ ной точке.

На рис. 23, а показана схема конструкции (фермы), для которой известны все силы, действующие со стороны стерж­ ней на узел А. Линии действия сил направлены вдоль стерж­ ней 1,2, 3 и 4. Векторы сил в некотором масштабе изобра-

38

жены на рис. 23, б. Узел А находится в равновесии. Сло­ жим все векторы сил, прикладывая начало каждого вектора к концу предыдущего вектора. В результате получим мно­ гоугольник сил. Стороны этого многоугольника в выбранном масштабе равны величинам складываемых сил (рис. 23, в). В рассматриваемом случае в многоугольнике сил конец по­ следнего вектора Ft совпадает с началом первого вектора Fv Это означает, что сумма всех сил, т. е. их равнодействующая, равна нулю. На рис. 23, в векторы сил складываются по

порядку, т. е. к вектору Fx прибавляется вектор/^, затем F 3 и Ft. Однако такой порядок сложения не обязателен. Например^ на рис. 23, г векторы сложены в следующем

«правило параллелограмма». Например, на рис. 24 сначала

— •^1 + /72 + F3. Наконец, складывая равнодействую-

39