книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

§ 17. Момент силы

Познакомимся с одним из важнейших понятий меха­ ники: моментом силы относительно оси. Рассмотрению под­ лежит случай, когда ось перпендикулярна к плоскости дей­ ствия сил (плоскости чертежа).

Прикрепим нить к пальцу А (рис. 35, а, б) полумуфты, закрепленной на валу какой-нибудь машины, и потянем ее в направлении / через динамометр. Вал машины начнет вращаться по часовой стрелке. Снова прикрепим динамо­ метр в точке А и потянем нить с той же силой, но в другом направлении. Мы увидим, что при одинаковом натяжении динамометра, но при разных его направлениях движение тела может быть различным. Например, потянув нить в на­ правлении 3, можно вращать тело против часовой стрелки. В обоих рассмотренных случаях линия действия силы F не пересекает ось вращения О (рис. 35, б). Если линия дей­

Можно потянуть нить в направлении, параллельном оси вращения (на рис. 35, б от точки А перпендикулярно к пло-

50

скости рисунка). В этом случае вал машины тоже не вра­ щается.

Рис. 35. Направление вращения тела зависит от направления линии действия силы F :

а — опыт с динамометром, б — схема действия сил

Теперь посмотрим, как зажимается деталь в слесарных тисках (рис. 36). Гораздо легче зажать деталь, если нажи­ мать на рукоятку возможно дальше от оси О вращения винта.

Рис. 36. Мерой вращающего действия силы на тело является величина момента силы:

51

мемся рукой за рукоятку ближе к оси вращения (в районе

Отсюда видно, что вращающее действие силы на тело зави­ сит от величины и направления силы, а также от расстоя­ ния линии действия силы от оси вращения.

Мерой вращающего действия силы на тело в механике

Обозначив величину момента силы буквой М, величину

нужно опустить перпендикуляр из точки О оси на линию действия силы и определить его длину а. На рис. 36^6 длина а является плечом силы F, длина ах — плечом силы Р\. Сила, приложенная к телу, которое может вращаться вок­ руг оси, может повернуть тело либо по ходу стрелки часов, либо против хода стрелки часов. Одно из двух возможных направлений вращения выбирают положительным, а про­

если сила стремится вращать тело против хода часовой стрелки, и отрицательным, если сила стремится повернуть тело по ходу часовой стрелки. Например, момент силы Ft на рис. 36, б является положительным: Mv = Fx -аъ а мо­ мент силы F — отрицательным: М = — F-а.

Момент силы не изменится, если перенести силу вдоль линии ее действия, так как при этом не изменяются ни плечо силы а, ни величина и направление силы.

Равные силы с одинаковым плечом имеют равные моменты

52

Эту единицу момента силы называют ньютон-метр (Н-м). До настоящего времени в технике еще применяется единица момента силы килограммометр (кГ-м). Она получается в том случае, когда силу измеряют в килограммах силы (кГ), а плечо — в метрах.

Рис. 37. К подсчету момента силы:

с — схема подвески груза, б — схема действия силы

В общем случае можно находить момент силы относи­ тельно любой оси, независимо от того, может ли в действи­ тельности тело вращаться вокруг этой оси. Например, на рис. 37, а показан груз, подвешенный к балке. Сила тя­ жести Р груза действует на балку в точке А (рис. 37, б). Момент этой силы относительно горизонтальной оси О, "перпендикулярной к плоскости рисунка, равен:

М= — Р-ОА = — P.U

§18. О равновесии тела,

способного вращаться вокруг неподвижной оси

В предыдущем параграфе мы видели, что если линия действия силы пересекает ось вращения, то тело, закреп­ ленное в подшипниках, остается неподвижным; любая дру­ гая сила, действующая в плоскости, перпендикулярной к оси, заставляет его вращаться. Когда линия действия силы

53

пересекает ось, плечо силы равно нулю: I = 0 и, следова­ тельно, момент силы тоже равен нулю: М = F-1 — 0. Сила, момент которой относительно данной оси равен нулю, не вызывает вращения вокруг этой оси. Если на тело дей­ ствуют две силы, линия действия которых не пересекает ось, то для равновесия необходимо, чтобы силы стремились поворачивать тело в противоположных направлениях, а чис­ ленные значения моментов сил были равны. Другими сло­ вами, при равновесии тела моменты обеих сил должны быть равны по величине и противоположны по знаку, а их сумма "равна нулю:

Заметим, что тело, способное вращаться вокруг оси, находится в равновесии и в том случае, когда оно непод­ вижно, и в том случае, когда оно вращается равномерно. Например, колеса автомобиля, идущего по горизонталь­ ному прямому участку шоссе с постоянной скоростью, вра­ щаются равномерно. Сумма моментов всех сил, действующих на каждое колесо, равна нулю, поэтому колесо находится

вравновесии.

§19. Равновесие тела под действием параллельных сил

Выше были описаны условия равновесия тела, находя­ щегося под действием сил, направленных по одной прямой или под углом друг к другу. Часто Встречаются случаи, когда на тело действуют силы, линии действия которых параллельны друг другу. Многошпиндельные сверлильные станки позволяют сверлить одновременно-несколько от­ верстий. Силы, направленные вдоль оси каждого сверла, образуют систему параллельных сил. Пролет железнодорож­ ного моста воспринимает силы тяжести тепловоза и отдель­ ных вагонов состава, разные по величине, но параллельные друг Другу. На оси вагона действуют параллельные силы со стороны рельсов.

54

Выполним следующий опыт. К неподвижной стойке при­ крепим два динамометра и к ним привяжем нити, на кото­ рых подвесим деталь, например шатун двигателя внутрен-

Рис. 38. Равновесие тела, на которое действуют три силы:

а, г — схемы подвески детали, б, д — схемы действия сил, в, е — сложение векторов сил

него сгорания. Точки А' и В' крепления динамометров сна­ чала расположим так, чтобы расстояние А 'В' между ними было меньше Ох0.2, равного расстоянию между Центрами отверстий в шатуне (рис. 38, а). В,этом случае на тело дей-

55

4

ствуют три силы: сила тяжести Р1 и две силы F'2 и Р3 со стороны нитей, направленные под углом друг к другу (рис. 38, б). Мы знаем соответствующее условие равновесия: каждая из сил равна по величине и обратна по направле­ нию равнодействующей двух других сил. На рис. 38, в

намометров, стремясь к тому, чтобы положения обеих нитей приближались к вертикальному. Показания динамометров начнут уменьшаться. Силы, действующие на тело со сто­ роны нитей, уменьшаются по величине и изменяются по направлению. На рис. 38, а, б не штриховые линии показы­ вают все изменения, которые произошли после перемеще­ ния точек приложения динамометров в места Л " и В". За­ метьте, что точка пересечения О" всех трех сил отодвину­

т. е. нити будут расположены вертикально. При этом дина­ мометры покажут величины сил F2 и F3, действующих со стороны нитей на деталь, а сами силы окажутся парал­ лельными друг к другу. На рис. 38, е из одной точки пост­ роены все векторы сил. Для наглядности на рисунке век­ торы F2 и F3 смещены относительно векторов F\ и F[. Сила Fx уравновешивает равнодействующую F[. Равнодей­

Из сравнения рис. 38, б и 38, д также следует, что точка пересечения трех параллельных сил находится бесконечно далеко от первоначальной точки О' пересечения сил.

Есть ли в проведенных опытах и рассуждениях что-то новое, отличающееся от уже известного нам? Да, есть. В случае равновесия тела, на которое действуют силы, направленные под углом друг к другу, можно найти равно­ действующую каких-либо двух сил и ее линию действия, сложив векторы сил (см. рис. 38, б и в ) . В случае равнове-

56

сия тела, на которое действуют параллельные силы, сложив векторы двух сил, можно найти вектор равнодействующей силы (величину и направление) — (рис. 38, е), но положе­ ние линии действия равнодействующей остается пока неиз­ вестным.

Для отыскания линии действия равнодействующей па­ раллельных сил воспользуемся условием равновесия тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси: алгебраи­ ческая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно этой оси должна быть равна нулю.

Найдем.^ например, линию действия равнодействующей сил F2 и F3, Величина сил F2 и F3 измерена с помощью динамометров. Известно также, что сила F2 приложена в точке Ох и сила F3 в точке 02 . Обе силы параллельны и на­ правлены вверх по вертикали. Примем сначала, что осью, вокруг которой может повернуться шатун, является ось, проходящая через точку 02 . Действительно, если обрезать левую нить, то шатун начнет поворачиваться вокруг точ­ ки 02. Момент силы F3 относительно оси 0 2 равен нулю,

Но осью, вокруг которой возможен поворот шатуна, может быть и ось, проходящая через точку 0Х . Если обрезать правую нить, то шатун начнет поворачиваться вокруг т о ч к и ^ . Для этого случая алгебраическая сумма моментов сил F\ и Р3 равна:

Из равенства (15) видно, что точкаС делит расстояние Ох02 между точками приложения сил F2 и F3 в отношении, обратном отношению величин сил F2 и F3. В то же время через точку С проходит линия действия силы Fx и равно­ действующей F'x = F2 + F3, так как Fx является уравно-

57

Вешивающей силой. Силы F\ и F't равны по величине и на­ правлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 39, а).

Так как любую из трех сил Flt F2 и F3, действующих на тело, находящееся в равновесии, можно рассматривать как уравновешивающую две другие силы, то возможны еще два случая. Пусть известны параллельные силы Fx и F\, напра-

Рис. 39. Варианты (а, б, в) определения линии действия равнодейст­ вующих двух параллельных сил

вленные в разные стороны. Равнодействующая этих парал­ лельных сил Р'г = Fx + ^2 направлена в сторону большей силы Fx (рис. 39, б). Линия действия силы F'z проходит через точку 02 , причем справедлива пропорция, следующая из равенства (13):-

O A / V

Равнодействующая F3 отстоит от известных сил Fy и Р2 на расстояниях 02 С и Ох02, отношение которых равно об­ ратному отношению величин сил Fx и F.2. Совершенно ана«

58

(рис. 39, в), линия действия которой проходит через точку 0Х .

В том случае, когда на тело, находящееся в равновесии, действует много параллельных сил (больше трех), то любую из этих сил можно рассматривать как уравновешивающую все остальные силы, которые, в свою очередь, можно заме­ нить одной равнодействующей. Для нахождения общей равнодействующей сначала находят равнодействующую каких-либо двух сил, затем складывают ее с третьей силой и т. д. При этом каждый раз определяют линии действия всех последовательно получаемых равнодействующих: сна­ чала двух сил, затем трех сил и т. д., применяя для этого способы, рассмотренные выше. Указанный способ последо­ вательного сложения сил прост, но достаточно громоздок.

С целью упрощения вычислений предпочитают приме­ нять условия равновесия, выраженные в аналитической форме. Проведем одну ось параллелыго данным силам, а другую ось перпендикулярно к ним. Проекция каждой из сил на перпендикулярную к ним ось равна нулю, а проек­ ция каждой из сил на параллельную им ось равна величине данной силы, взятой со знаком плюс или минус в зависимо­ сти от ее направления. Одним из условий равновесия тела, на которое действуют параллельные силы, должно быть равенство нулю алгебраической суммы всех сил, что озна­ чает равенство нулю их равнодействующей 2 7^ = 0.

Однако, как показывает опыт, одного этого условия не­ достаточно для того, чтобы телонаходилось в равновесии под действием параллельных сил Flt F2, Fs, Fi(pm. 40,a). Выясним, почему так происходит. Выделим любые две силы

59