книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

По определению среднего ускорения в направлении траек­ тории

Условимся, что мы будем вести отсчет времени с того момента, когда начнем рассматривать процесс движения. Это означает, что применяется условие t0 — 0.

а

Если в начальный момент времени и скорость была равна нулю: vu = 0, то получим простое соотношение:

Уравнения (28), (28а) и (286) позволяют определить скорость при равнопеременном движении. Величина уско­ рения аг может быть как положительной, так и отрицатель­ ной: для равноускоренного движения ат > 0, а для равнозамедленного ат < 0.

На рис. 81, 82 показаны графические зависимости уско­ рения от времени для равноускоренного и равнозамедлен-

110

ного движений. На рис. 83, 84 приведены графики, выра­ жающие зависимости скорости от времени, соответствую­ щие уравнению (28а). В начальный «нулевой» момент вре­ мени t = О точка движется со скоростью v0. При равно­ ускоренном движении (см. рис. 83) в каждый последующий момент / скорость v больше, чем v0. Поэтому прямая на рис. 84, а идет так, что с возрастанием t ординаты v увели­ чиваются. При равнозамедленном движении (см. рис. 84) в любой момент времени / скорость v меньше, чем v0. Прямая на рисунке показывает уменьшение ординат v с увеличением времени t.

При изучении равномерного прямолинейного движения (§ 38) мы установили, что площадь под графиком, выражаю-

Это положение справедливо для любого неравномерного движения, в том числе равнопеременного. При равнопере­ менном движении площадь под графиком,- выражающем зависимость скорости v от времени t, равна площади тра­

Если отсчет времени ведется с момента, когда начинается рассмотрение процесса движения, то t0 = 0. Уравнение (29)

111

приобретает более простой вид:

Это уравнение представляет собой соотношение между пройденным путем 5, начальной и0 и конечной v скоростями и продолжительностью t движения.

Подставим в (29а) выражение скорости о (28а):

При решении задач иногда бывает удобнее для опреде­ ления пройденного пути пользоваться другой формой урав­

Подставим найденное значение t в (29а):

Приведенные выше уравнения применимы и для случая свободного падения тел. Это движение происходит с по­

центру Земли. Например, тело, брошенное вверх с началь­ ной скоростью у0 , поднимется на максимальную высоту

Используя эти данные, из уравнения (29в) находим:

112

§ 42. Сложение прямолинейных движений точки

Мы познакомились с самым простым движением точки — прямолинейным движением. Для изучения прямолинейного движения был применен метод определения последователь­ ных положений точки относительно выбранной системы отсчета с течением времени. Система отсчета принималась в виде некоторой неподвижной точки на прямолинейной траектории и самой траектории. Однако во многих случаях точка или тело одновременно совершают несколько прямо­ линейных движений или, как говорят, сложное движение.

Мостовой кран, с помощью которого перемещают детали в цехе, передвигается по крановым путям, проложенным вдоль цеха. Тележка с грузоподъемным устройством пере­ мещается по балкам крана в направлении, перпендикуляр­ ном к крановому пути (поперек цеха). Грузоподъемное устройство, установленное на тележке, обеспечивает подъем

испуск деталей по вертикали. Наблюдая за деталью, такелажник увидит, что она совершает сложное перемеще­ ние относительно стен и пола цеха: груз одновременно пере­ носится вдоль цеха, перемещается к противоположной стене

иподнимается. Крановщик, находящийся в кабине управ­ ления, расположенной на кране, видит это же перемещение груза по-другому. Относительно него (или относительно крана) деталь только перемещается тележкой поперек цеха

иподнимается грузоподъемным устройством.

Из приведенного примера видно, что описание движения зависит от расположения и перемещения тел, по отношению к которым рассматривается движение точки. Тела, служа­ щие для определения положения движущихся точек или тел, называются с и с т е м а м и о т с ч е т а . Можно выделить систему отсчета, неподвижную относительно Земли: стены и пол цеха, относительно которых движется деталь, и дви­ жущуюся систему отсчета: мостовой кран, по балкам которого перемещается тележка с грузоподъемным устрой­ ством, и рассматривать движение точки относительно вы­ бранных систем отсчета.

В механике для различных движений точки приняты следующие наименования.

Движение точки по отношейию к неподвижной системе

113

Перемещение движущейся системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета называется п е р е н о с ­ н ы м д в и ж е н и е м .

Такелажник, наблюдая за деталью, переносимой в цехе мостовым краном, видит абсолютное движение детали. Крановщик, находящийся в кабине управления на кране, видит относительное движение детали поперек цеха вместе с тележкой крана и одновременный подъем детали. Переме­ щение крана вдоль цеха является переносным движением.

Рассмотрим более подробно два прямолинейных пере­ мещения точки в каких-либо направлениях на плоскости.

вотносительном движении, направленном перпендикулярно

кпереносному перемещению.

Допустим, что при обтачивании детали резец переме­ стился вдоль оси станка на AS± = 50 мм и в поперечном направлении на AS2 = 10 мм. Таким образом, известны величина и направление каждого из перемещений. Построим векторы перемещений ASX и AS2 (рис. 85). Результирующее перемещение AS3 резца является суммой двух векторов:

Обратите внимание, что сложение перемещений, направ­ ленных не по одной прямой, отличается от сложения обыч­ ных чисел. В частности, расстояние, которое проходит резец, если он перемещается сначала на А5\, а затем на Д £ 2 , больше, чем расстояние при непосредственном переме­ щении AiSg. В первом случае пройденное расстояние равно

Этим объясняется тот факт, что при точении мы получим детали разной конфигурации. Из рис. 86, а видно, что при

114

режем торец БВ. Рис. 86, б показывает, что непосредствен­ ное перемещение резца AS3 дает коническую поверхность АВ. Это осуществляется одновременным равномерным дви­ жением в осевом и поперечном направлениях. Разделим

-ЕЙ

I

Li

AS,

AS,

а)

'пер 5)

Рис. 86. Поверхности, получаемые при точении:

при последовательном перемещении резца на ASt и AS2 , б — при непо­ средственном перемещении резца на AS3

Все движения по условию являются равномерными, поэтому согласно определению скорости, данному в § 37, каждая из величин, входящая в уравнение (30а), является скоростью.

рость точки по отношению к неподвижной системе отсчета.

115

Отношение - — равно переносной скорости и п е р = - ~ - .

Со скоростью т)п е р резец вместе с суппортом перемещается вдоль направляющих станка. П е р е н о с н а я с к о ­ р о с т ь — это скорость того «места» движущейся системы отсчета, где находится в данный момент времени точка, движение которой мы рассматриваем.

Отношение -^р- в рассматриваемом примере равно отно-

Отсюда легко можно найти связь между величинами переносной и относительной скоростей или между вели­ чинами продольной и поперечной подач. В рассматриваемом примере скорость продольной подачи должна быть в 5 раз больше скорости поперечной подачи.

В рассмотренном случае переносная и относительная скорости были взаимно перпендикулярны. В более сложных случаях, когда они направлены под углом, отличающемся от прямого, метод решения остается тем же: нужно всегда применять правило сложения векторов (см. § 13).

Рассмотрим еще один пример. Пусть вы хотите пере­ плыть реку, но так, чтобы выйти на противоположный берег непосредственно напротив вашей исходной точки. Жизнен­ ный опыт подскажет вам, что плыть нужно под углом к бе­ регу против течения реки. Предположим, что скорость

116

реки равна 1 км/ч, а вы можете проплывать каждые 100 м за 3 мин. Под каким углом к берегу нужно плыть, чтобы выйти на противоположный берег непосредственно напротив вашей исходной точки?

В этом примере величина переносной скорости равна

Рис. 87. Сложение переносной и относительной скоростей, направлен­ ных под углом друг к другу

углом к нему, а следовательно, и к переносной скорости. Выполним сложение векторов по уравнению (31). Резуль­ таты показаны на рис. 87. Искомый угол а определим из соотношения

cos а = -г —- = -у, а = 60 .

Угол между направлением переносной и относительной скорости равен 60°. Под таким углом к берегу нужно плыть против течения реки, чтобы выйти на противополож­ ный берег непосредственно напротив исходной точки.

Аналогичным способом штурманы самолетов и кораблей решают задачи об определении необходимого курса в соот­ ветствии с метеорологической обстановкой. Одна из таких задач разобрана ниже.

117

§43. Задачи с решениями

За д а ч а 10. Электропоезд трогается со станции и движется рав­ ноускоренно. В течение первых 20 с он достигает скорости 54 км/ч и затем, двигаясь равномерно, проходит путь 2,4 км. Последний участок перед следующей станцией длиной 105 м поезд проходит равнозамед-

ная скорость, которая равна нулю; время движения, равное 20 с, и конечная скорость 54 км/ч. Для полной характеристики движения нужно найти величину ускорения и пройденный путь.

Второй участок — движение равномерное со скоростью 54 км/ч. Неизвестно время, за которое поезд проходит путь 2,4 км.

Третий участок — движение равнозамедленное с начальной ско­ ростью 54 км/ч и конечной скоростью, равной нулю. Для характери­ стики движения нужно узнать ускорение (замедление) и время тормо­

118

и время движения поезда:

/ = ^ + 4 + ^ = 2 0 + 1 6 0 + 1 4 = 1 9 4 с.

З а д а ч а 11. Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью 54 км/ч, промчался мимо регулировщика уличного движения. Регули­ ровщик решил задержать водителя за нарушение правил движения. Через 10 с после проезда автомобиля он начал преследование на мото­ цикле и через 45 с оказался на расстоянии 95 м от автомобиля. Считая движение автомобиля равномерным, а мотоцикла равноускоренным, определите, сколько времени потребуется, чтобы нагнать автомобиль. Чему равняется скорость мотоцикла, когда он поравняется с автомо­ билем? Какой путь пройдет мотоцикл? Постройте графики, выражаю­ щие зависимости скорости автомобиля и мотоцикла от времени. Опре­ делите с помощью графиков момент времени, когда скорости автомо­

Решад квадратное уравнение, находим:

Второй корень квадратного уравнения не имеет физического смысла.

Скорость мотоцикла в момент времени, когда он поравняется с авто­ мобилем

о м = а м - / = 0,72-50 = 36 м/с =130 км/ч.

Путь, пройденный мотоциклом

^ _ О , 7 2 . Б О » _ 9 0 О и >

2 ~ 2

119