книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

Аналогично можно построить многоугольники сил для любой плоской системы сходящихся сил, т. е. системы сил, линии действия которых расположены в одной плоскости и пересекаются в одной точке. Если многоугольник сил ока­ зывается замкнутым, то это означает, что равнодействующая всей системы сил равна нулю и рассматриваемое тело нахо­ дится в равновесии.

Любая задача о равновесии абсолютно твердого тела, на­ ходящегося под действием плоской системы сходящихся сил, может быть решена только тогда, когда имеется не более двух неизвестных. Так как любой вектор определяется величиной и направлением, то неизвестными в системе сил могут быть:

один вектор силы — его величина и направление; величины двух векторов сил при известных их направле­

ниях; направления двух векторов сил при известных их вели­

чинах; величина одного вектора силы и направление другого

вектора силы при известных направлениях первого и вели­ чине второго векторов.

Все остальные силы, действующие на рассматриваемое тело, должны быть заданы, иначе задачу о равновесии тела решить невозможно.

справа налево (от узла А). Углы между стержнями равны: 15° между 1

40

сил, который мы должны построить, должен замкнуться. Поэтому не­

Аналогичным способом, с помощью геометрических построений, решаются разнообразные задачи о равновесии тела при любых двух неизвестных.

§ 15. Разложение силы на сходящиеся составляющие

При изучении условий равновесия тела неоднократно был использован прием, когда действие нескольких сил на тело заменялось точно таким же действием на него одной равнодействующей силы. Для этого мы складывали задан­ ные векторы сил. Не менее важна для практики задача о раз­ ложении силы на составляющие, т. е. задача отыскания нескольких сил, равнодействующей которых была бы дан­ ная сила. Обычно эта задача возникает при определении сил, действующих на связи (см. § 11).

41

Задача о разложении силы на две составляющие в общем случае может иметь множество решений. Ведь на одной диагонали параллелограмма, изображающей на чертеже равнодействующую, можно построить сколько угодно парал­ лелограммов, сторонами которых служат отрезки, изобра­ жающие в масштабе чертежа составляющие силы. Напри­ мер, данную силу F можно разложить на два взаимно пер­ пендикулярных направления х и у (рис. 27). Для этого до-

статочно провести через начало

2вектора силы F прямые в на­ правлениях х_ и у, а через ко­ нец вектора F прямые, _ парал­

F = F1 + F2.

Обычно при решении конкретных задач всегда имеются дополнительные указания на то, как нужно разложить силу на составляющие. Часто условия задачи указывают те направления, по которым нужно найти составляющие дан­ ной силы. Как правило, это направления, в которых связи ограничивают перемещение рассматриваемого тела. Напри­ мер, направления тросов, на которых закреплена деталь (см. рис. 18), определяют направления сил F2 и F3 при извест­ ной их равнодействующей F\. Другой пример показан на

42

рис. 28, а. Шар, подвешенный на нити, опирается на верти­ кальную стену. Шар находится в равновесии под действием

торые не лежат в одной плоскости, Рассмотрим в качестве примера

в пространстве (рис. 29, а). Этот вектор можно разложить на вертикаль­ ное направление г и направление, перпендикулярное к режущей кромке инструмента. Именно в этих направлениях резец испытывает сопротив­ ление при перемещении во время резания. Режущая кромка резца рас­ положена по отношению к оси детали (направлению х) под углом ср, который называют главным углом в плане (рис. 29, б). Сила R является равнодействующей сил F и Fz, действующих в указанных направлениях и лежащих в одной плоскости:

R = F + Ft и R = y f + F*.

В свою очередь, силу F можно разложить на две составляющие Fх в направлении х оси детали и F у в радиальном направлении у, перпен­ дикулярном к оси:

F = FX + Fy и F = yF% + Fl

Из равенств, приведенных выше, получим выражение для равно­ действующей силы R:

R = ?x + Fy + P, и R = y F x + Fl + Fl

43

При обработке торца втулки применяют подрезной резец, у кото­ рого угол в плане ф = 90° (рис. 29, в). В этом случае радиальная сила Fv равна нулю и сила резания равна:

В приведенных примерах мы определили равнодействующую R всех сил, действующих на резец со стороны обрабатываемой детали. Согласно третьему закону Ньютона резец на деталь действует с силой R',

Рис. 29. Разложение силы резания R на составляющие для различных случаев обработки детали:

а — при обточке, б — схема сил, действующих в горизонтальной

плоскости при обточке, в — при подрезке торца, г — при прорезании канавки

44

1

равной по величине равнодействующей, направленной в противополож­ ную сторону и приложенной к детали (связи). Конечно, и силу"/?' можно разложить на составляющие рассмот- р ренным выше способом.

Изучая равновесие тела, мы видели, что геометрическая сумма всех сил должна быть равна нулю. Складывая век­ торы всех сил, действующих на тело, и пользуясь указан­ ным условием, можно определить те неизвестные величины, которые имеются в конкретной задаче. Однако способ раз­ ложения векторов, несмотря на быстроту и наглядность, имеет и недостатки: точность решения зависит от тщатель­ ности графических построений, усложняется решение в слу­ чае пространственной системы сил. Поэтому очень широко применяются условия равновесия, выраженные в аналити­ ческой форме, сущность которой рассмотрена ниже на при­ мере плоской системы сил, линии действия которых пере­ секаются в одной точке.

Мы знаем, что самый простой случай равновесия тела будет тогда, когда все силы действуют по одной прямой. Кроме того, самым простым случаем разложения любой силы на два направления является разложение на два взаимно перпендикулярных направления. Попытаемся ис­ пользовать оба эти положения. Перенесем все векторы сил в точку, в которой пересекаются их линии действия, и раз­ ложим каждую силу на два взаимно перпендикулярных направления, выбранных заранее. В результате получим удвоенное количество векторов сил, но зато все составляю-

45

щие по каждому отдельному направлению легко можно сложить алгебраически по формуле (4).

Наиболее просто можно реализовать этот метод, если воспользоваться понятием проекции вектора на ось.

Проведем прямую линию и условимся считать положи­ тельным одно из направлений вдоль прямой. Обозначим какой-нибудь буквой выбранную прямую (например, бук­ вой х) и отметим на чертеже стрелкой положительное на­ правление (рис. 31). Неограниченная прямая, для которой

конца В вектора F (рис. 31, о). Основания перпендикуляров, опущенных из данных точек на ось, называются проекциями этих точек на выбранную ось.

Длина отрезка оси, заключенного между проекциями на ось начала и конца данного вектора, называется п р о е к ­ ц и е й в е к т о р а н а в ы б р а н н у ю о с ь .

Проекцию вектора на ось обычно обозначают той же буквой, которой обозначается вектор, указывая индексом

тельное и отрицательное направления, то и проекция век­ тора на ось может быть положительной или отрицательной. Проекция вектора на ось считается п о л о ж и т е л ь н о й ,

46

если ее направление совпадает с принятым положительным направлением оси, и о т р и ц а т е л ь н о й — в противо­

ра Fix на рис. 31,6 — отрицательная величина. Из этих же рисунков видно, что проекция вектора на ось получается положительной, когда угол а между направлением вектора

иположительным направлением оси является острым, и отрицательной, когда угол аг между направлением вектора

иположительным направлением оси является тупым.

Так как АС = ah = Fx и величина отрезка АВ равна ве­ личине вектора F, то из равенства (8) следует выражение:

При вычислениях проекций векторов обычно поступают следующим образом. Величину вектора умножают па ко­ синус острого угла между направлениями вектора и оси, а затем приписывают проекции знак плюс, если угол между направлением вектора и положительным направлением оси является острым, и знак минус, если угол между направле­ нием вектора и положительным направлением оси является

нулю.

47

и проекция Fу на ось у определяют один Еектор F (рис. 33).

У,

Fx

Удобнее всего выбрать оси х и у взаимно перпендикуляр­ ными. В этом случае наиболее просто определяется величина вектора. Из прямоугольного треугольника ABC (см. рис. 33) находим:

Все сказанное выше относится к любым векторам, в том числе к векторам сил.

Теперь вернемся к условиям равновесия тела в аналити­ ческой форме. Ранее мы установили, что в общем случае, когда на тело действует произвольное число сил, сходя­ щихся в одной точке и расположенных в одной плоскости, условие равновесия тела выражается векторным равенст­ вом:

R = Fi+Fi+Fa + .:- + Fi = 0 или £ = v/?. = o.

Равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю. Найдем проекции каждого вектора силы Ft, входя-

48

щего в это равенство, на две взаимно перпендикулярные оси х и у. Сложим все проекции векторов на ось х, прини­ мая во внимание их знаки:

которые можно рассматривать как проекции равнодействую­ щей R всех сил, действующих на тело, потому что каждая

R = 0, то равно нулю и подкоренное выражение в фор­ муле (10). Так как квадраты любых чисел (положительных или отрицательных) всегда положительные, то сумма двух положительных величин может быть равна нулю только в том случае, когда каждое из слагаемых в отдельности равно нулю:

выражающие собой в аналитической форме условие равнове­ сия тела, называются уравнениями равновесия.

Для равновесия тела, на которое действуют силы, схо­

вимся считать в направлении действия указанных сил: ось х направлена справа налево, а ось у — сверху вниз (рис. 34).

49