книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания

Обозначив и—уо и ѵ= —//2, можно написать

оценить устойчивость системы. Переменная а изменяется в пределах 0 <Си<С°°- ПриО<Пг<(6т изображающая точ­

70

^і(ѵ) и F\(u) могут иметь_только одну точку пересече­ ния и в системе возможен один устойчивый цикл.

этом случае иметь не более одной точки пересечения, так как при наличии трех точек пересечения точка пере­ гиба F2 (и) должна лежать при и < 1, что невозможно.

Если Fі (н) и F2 (u) могут иметь не более одной точки

пересечения, то в системе возможен только один устой­ чивый предельный цикл. Поэтому, если потребовать, что­ бы уа = Ьі, где уа — амплитуда возможных колебаний и найти соотношение параметров, при котором это равен­ ство выполняется, то определяется единственное бифур­ кационное соотношение параметров, являющееся крити­ ческим. Для его определения в уравнении (3. 104) следу­ ет положить и= ѵ= Ь-.

После упрощений

При е < е Кр система устойчива, при е> екр — неустойчива.

Коэффициент ß T ^ l. В этом случае в системе возни­ кает скользящий режим, отображаемый движением изо­ бражающей точки при у > 0 между L2 и Li и при у < 0 между Li и L3. Скользящее движение начинается сразу же, как только изображающая точка попадет на Li { у > 0) или на L3 ( у < 0), т. е. не более чем через одно нолуколебание переходного процесса. Начальные условия всегда можно выбрать так, что у0 будет больше умень­

шения у за первый период скользящего режима, и усло­ вие ßTі> 1 является необходимым и достаточным усло­ вием возникновения движения в системе.

71

Б. З а п а з д ы в а н и е у ч и т ы в а е т с я

Коэффициент ßri<cl. Уравнение движения системы имеет вид (3.44). Поведение системы можно рассматри­ вать по отрезкам времени на многолистной фазовой по­ верхности. Вид траекторий изображающей точки описы­ вается уравнениями (3.75) и (3.78), полученными при рассмотрении системы с жесткой обратной связью. Эти

+ х ~ { 1 - Ь Т 1){е^ - \) .

Переключение реле при скоростной обратной связи не отличается от переключения реле при жесткой обрат­ ной связи. Линии областей переключений имеют вид:

(LâJ У х [1 -(1 -р Г 1)е ’І = - ^ + о - ^ - ;

Условие, при котором точка пересечения прямых Lj и Lu лежит выше прямой у —+ 1, определяемое урав­ нениями (3. 103) и (3. 107) будет

72

В этом случае при любых значениях у время про­ хождения изображающей точкой мертвой зоны меньше т и на прямой Lu никакого переключения реле не про­ исходит. Система не имеет устойчивого положения рав­ новесия.

Точечное преобразование полупрямой Lu в полу­ прямую Lu отыскивается так же, как это делалось при наличии жесткой обратной связи. Считаем, что в неко­ торый момент времени, изображающая точка находится на прямой Lu в точке А, с координатами х0,у0- Из урав­

нения Lu определяется выражение Хо через уй

• * o = - M W l - P 7 \ ) e 4 + T - ( l - F J ( e ^ - l ) - a + ^ .

(3.111)

Из точки А изображающая точка движется по ли­ сту / по фазовой траектории этого листа (3.75) и пере­ секает линию Lu в точке В с координатами:

* i = - 0 U - ( l - ß £ l)e1 + a + -± .;

^ = - г / 2[ 1 - ( 1 - Г 1)е^ ]-т + (1 -р Г 1) ( е ^ - 1 ) + а - - ± - .

(3. 113)

Точечное преобразование имеет следующий вид:

73

После введения обозначений:

—у2 = ѵ , Уо=п, я = (1 —srje^;

Ь 2° + ( 1 - Р Н ) ( е т - 1 ) - т .

х(1 — pro ет

—{и— Ьт.-\-\)ес- аа определяют предельные циклы в сис­

точка движется в положение равновесия), ѵ изменяется в пределах 0 < ѵ < 1.

Первая и вторая производные функций Fl (v) и F2 (ti)

выражаются уравнениями (3.94)./г1(т>)= 1 при ѵ = 0 для любых значений параметра т, а / г1(г))= 0 при ѵ = 1 .

вые имеют одну точку пересечения. Если в точке пере­ сечения

то при наличии второй точки пересечения должно быть

74

а) Если bx —0, то

1— а — аи

что может быть при с — Чааф 0. Следовательно, в этом случае возможно более одной точки пересечения

и Fz (u).

что приводит к неравенству с — 2сш>0.

При и= Ьх для минимальной разности имеем

с — 2аит{п = с — Час = — 2о — s <10.

Следовательно, возможна только одна точка пересече­ ния Еі(ѵ) и Fz(u).

точке пересечения может быть

(см. следующий пункт 2а и б).

1 — а—а (и — 6Т)

а) Если Ьх —0, то

75

Это неравенство выполнимо при с — 2гш<0, что может быть.

что приводит к неравенству с — 2сш<0.

Следовательно, в системе может быть несколько то­ чек пересечения Fі(и) и F2 (u), что означает наличие в

системе одного или нескольких чередующихся неустой­ чивых и устойчивых циклов.

3.а<М . В системе в этом случае возможна одна

дится правее аэк на величину — > 1 , т. е. при мпер> 1 .

а

Бифуркационное (критическое) соотношение парамет­ ров, определенное из выражения (3. 116) при и= ѵ= Ь^ для случая, когда в системе возможен один устойчивый цикл, имеет следующий вид:

Разбиение пространства параметров приведено на рис. 3. 10. С увеличением коэффициента ßTi несколько увеличивается область (III) устойчивости системы и уменьшаются области (/) и (II) автоколебаний (пока­ зано пунктиром).

В том случае когда коэффициент ß7’i < l , в системе возможен скользящий режим (см. рис. 3. 11). На фазо­ вой поверхности скользящий режим отображается дви­ жением изображающей точки междулиниями переклю­ чения L^, Ьь(у<С0) и Lu, £зт(г/>0).

Скользящий режим при у > 0 начинается на той части линии Lu, которая лежит ниже точки касания к ней фа­ зовой траектории листа II. Определим значение ордина­ ты г/с. р точки касания траектории М к Lu (ординаты

76

Условие ус. р>0 является необходимым условием воз­ никновения скользящего режима. Достаточным услови­ ем возникновения скользящего режима является условие

Уч Р^ !

где Ду — уменьшение координаты у за первый период скользящего режима, так как значение ус.р может быть настолько мало, что фазовая траектория, пересекающая L u при у=Ус.р, идет в положение равновесия.

Для оценки числа переключений реле в скользящем режиме определим величину Ау, состоящую из двух от­ резков, первый из которых d представляет собой умень­ шение у за время движения изображающей точки по ли­ сту / (где Ф-і (а )= 0), второй с — является изменением координаты у при движении изображающей точки по листу I I . Из уравнений L u и L 3x и фазовой траектории

листа / имеем

Приближенно отрезок с можно заменять отрезком с', который легко определить из уравнений Lu и /,3т:

Так как за период скользящего режима Тс.р реле переключается дважды, то число переключений

77

сти искать точечное преобразование. Так как фазовые траектории на листах направлены навстречу друг другу, то при любых начальных условиях после первого полуколебания система в скользящем режиме движется в положение равновесия.

Скользящие режимы в системе могут возникнуть у левого контакта реле (при у > 0) и у правого (при //< 0 ). Скользящий режим на фазовой поверхности ото­ бражается движением изображающей точки между ли­ ниями переключения /,2 т, ^4т(//^>0) и Lu, Z,3T( / / < 0)

и показан на рис. 3.11. Необходимым условием возник­ новения скользящего режима является встречное направ­

ков d и с', первый из которых есть уменьшение ордина­

ты у при движении изображающей точки по листу /, он определяете« из уравнений Lu и /,зт и фазовой траек­ тории листа /:

« + т + (р7’1 — 1) (ет — 1)

(3.125)

(ß7"i — 1) ет

Второй отрезок с' является уменьшением координа­ ты у при движении изображающей точки по листу II и зависит от величины у.

Так как точное определение его связано с громозд­ кими математическими вычислениями, то для практиче­ ских расчетов фазовые траектории листа II между

и Z.3 T можно принять в виде прямых, касательных к

истинным фазовым траекториям в точках пересечения

где х0=уо — координаты точки пересечения фазовой тра­ ектории с L%x

78

3.Динамика систем

снелинейными обратными связями

Структурные схемы систем с нелинейной обратной связью приведены на рис. 3. 1, г и д. Уравнения движе­ ния таких систем получено ранее.

А. Н е л и н е й н а я о б р а т н а я с в я з ь вида ф(л:) =jc2sign X [14]

Фазовая поверхность распадается на листы, границы которых без учета запаздывания определяются уравне­ ниями:

79