книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания

Из (3. 82) определим х0 и у0, выразив их через Хг, y z:

Подставив х0) уо в выражение для Lu можно найти новую линию переключения Lu :

Аналогично можно определить другие линии переключе­ ний (границы листов):

исходит в том случае, если согласно начальным услови­ ям изображающая точка спустя отрезок времени т попа­ дает соответственно на прямые А/т. В противном слу­ чае переключений реле на фазовой плоскости не будет

Z-4 -. и А3т при Ф(<т)=0, отстоят от U и L3 на время т.

Последний случай имеет место только для особых на­ чальных условий, которые могут быть выбраны между

60

Уравнения L^, Z.3x, /- 4т и і 3х имеют следующий вид

Переключение реле происходит следующим образом. Пусть при t = 0 изображающая точка находилась в по­ ложении 1 (см. рис. 3.7). Тогда при 7 = 0 она движется по фазовой поверхности, изображенной пунктиром, при этом Ф(ст)=—1. Следовательно, при х^Ь<.2х, функция Фх(з)=1 и фазовая траектория принадлежит листу III. Поэтому траектория изображающей точки расположена на плоскости листа III. В точке 1" происходит переклю­ чение Фх(о)= 0 с —1 на 0 (так как в точке 1' произо­ шло такое же переключение Ф(сг) и изображающая точ­ ка переходит на фазовую плоскость I, гдеФх(а)=0). Та­ ким же образом происходит движение изображающей точки из положения 2.

на 0. В соответствии с этим Фх(а)= — 1 с момента 7=т до t= x+ t*, а при т+ 7*<7<2т будет ф х(сг)=0.

Таким образом, на рассматриваемой фазовой поверх­ ности (см. рис. 3. 7) траектория изображающей точки сначала до != т + і* проходит по листу III, а в точке 2" переходит на лист /.

Аналогично рассматривая движение, начавшееся при / = 0 в точке 3, придем к выводу, что при x^t<c.2x фазо­ вая траектория проходит по листу I. Следовательно, для

начальных условий между прямыми L4 и L\- переклю­ чения реле с —1 на 0 происходят между прямыми L\x

и І 4 Х, т. е. на данной фазовой поверхности, имеем не

только линии переключения, но н области переключений реле.

61

ной (рис. 3.8). Лист /, где Фт(о)= 0, расположен между прямыми Ьг и Lu при і/> 0 и расположен между пря­ мыми Li и L2X при у<с0. Линии Li и L2 являются ли­ ниями переключения ф(о), a LlT и L2T отстоят от них

на 2т по ходу движения изображающей точки по листу

I.Лист II, где Фт(з ) = -f-1, ограничен слева прямыми L3

иL3T . Линия L3x отстоит от L3 на 2т при движении изо­ бражающей точки по листу II.

Рис. 3. 8. Фазовый портрет системы при больших запаздываниях

Границы листа III симметричны границам листа II относительно начала координат. Фазовые траектории на

будет означать, что время прохождения изображающей точкой мертвой зоны L,.3 для фазовых траекторий, рас­ положенных выше точки пересечения прямых L^ и Lu меньше х. При больших значениях у время thг. 3 стано­ вится все меньше и меньше и при у— ѵоо время tbU3— М3, в результате L^ переходит в некоторую кривую, ассимптотически приближающуюся к Lu

При исследовании системы интерес представляет часть фазовой поверхности, расположенной между пря­ мыми у = ± 1, так как она определяет положение устой­ чивости системы и наличие в ней автоколебаний,

62

т. е. абсциссы точек линии Lt~ располагаются правее ли­ нии L u :

Xit^Xlt.

В этом случае при любых значениях у время про­ хождения изображающей точкой мертвой зоны должно быть меньше т и на прямой Д т переключения реле не происходит. Система при этом условии не имеет устой­ чивого положения равновесия. Условие (3.88) не вы­ полняется для всех значений %и линия Д х не пересечет Lu (см. рис. 3. 8).

Для определения преобразования Д х в 7.3х предпо­ лагается, что в некоторый момент времени изображаю­ щая точка А с координатами х0, уо оказалась на Д х. ■По уравнению Д х х0 выражается через уо:

Из положения х0, уо изображающая точка идет по листу I. Фазовой траекторией является прямая (3.75), которая пересекает линию Lit в точке В с координатами хи Уи Координаты точки В пересечения прямой (3.75)

илинии переключения L.- будут

+— K i ( l - e T);

Из положения В (хи Уі) фазовая траектория по ло­ гарифмической кривой (3.78) переходит через некото­ рое время на 1st в точку С (х2, г/2) •

63

Подставив в (3. 78) вместо х0, Уо координаты Ху, уу, можно найти точку пересечения фазовой траектории и линии переключения L31

c = - 2 [ t + ^ - o - ( e * - l ) j = 2 [ o + ( e ' - l ) - - ^ - t ] ,

то уравнение (3.91) примет вид

Выражение (3.92) соответствует переходу изображаю­ щей точки на фазовой поверхности по листам / и II с Liz на Lzz и является искомой функцией точечного пре­ образования. Функцию соответствия (3. 92) можно пред­ ставить в виде двух функций Fі(и) и Fz(u):

^ Л ѵ)—(1 — v)env-,

(3.93)

F2 (и) = (1 — bz -j-м) ec~au

Точки пересечения кривых (3.93) определяют непо­ движные точки точечного преобразования, соответствую­ щие предельным циклам, причем в точках пересечения и=ѵ. Анализ Fi(v) и F2 (u) дает возможное число точек

их пересечения.

При 0<w<c6x изображающая точка по траекториям (3.75) движется в положение равновесия, которое на-

ем равновесия является отрезок оси абсцисс, заключен­ ный между прямыми L y и L2.

64

При bt < ^ u ^ со V изменяется до ѵ= \. Первые и вто­ рые производные Л (у) и F2 (U) имеют вид:

и при 1— —^>Ь-> максимум лежит справа от вертикаль-

максимум функции F%(u) лежит слева от оси ординат.

Рис. 3. 9. Расположение кривых точечных преобразований

Действительно, при наличии еще одной точки пере

Подставляя в это неравенство выражения соответствую­ щих производных из (3. 94), получим

66

Неравенство (3.. 97) противоречит допущенному предпо­ ложению (3. 96). Поэтому двух и более точек пересече­ ния Л (о) и F2 {U) при рассматриваемых сочетаниях быть

не может.

Рис. 3. 10. Области качественных состояний системы

Бифуркационное (критическое) соотношение парамет­ ров при и= ѵ— Ь определяется из (3. 92):

На рис. 3. 10 приведено разбиение пространства пара­ метров системы, имеющей один устойчивый предельный цикл. В области III система устойчива. В области I и II — автоколебания. Необходимым условием возникнове­ ния в системе скользящего режима является встречное

направление фазовых траекторий соседних листов по ли­ нии переключения. Для определенияординаты точки М касания траектории (рис. 3.11) к линии LlT из (3.77) и (3.78) определяются и приравниваются друг другу производные [7]

Условие ус.р>0 является необходимым условием воз­ никновения в системе скользящего режима, однако оно

не всегда будет осуществимо, так как при ус.р>0 может быть настолько мало у с. тр, что фазовая траектория, пере­ секающая Lu, при у —Ус. р движется в положение равно­ весия.

Возможное число переключений реле

(3.101)

А#

где Ау — уменьшение координаты у за период скользя­ щего режима. В данном случае уг„ р< 0 и нет возможно­ сти появления скользящего режима.

2. Динамика систем со скоростной обратной связью

Уравнение движения систем со скоростной обратной связью (см. рис. 3. 1, б) при свободных колебаниях в без­ размерных величинах получено ранее (3. 44). Будем рас­

68

сматривать динамику систем без учета и с учетом запаз дывания для коэффициента, характеризующего эффек­ тивность скоростной обратной связи ßTІ5 большего или меньшего единицы.

А. З а п а з д ы в а н и е не у ч и т ы в а е т с я

Поведение системы рассматривается на трехлистной фазовой поверхности. Границы листов описываются уравнениями:

(^)

(4 )

(3.103)

ßs)

( U )

листа, где Ф (о)=0. Положение равновесия системы оп­ ределяется уравнением (3.71).

69