книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания
.pdf2. Уравнение релейного элемента |
|
|||
+ |
1 |
при |
<з>-аЕ |
|
Ф (а) = |
0 |
при |
|а|<^ае; |
(4.5) |
— 1 |
при |
—ае,; |
|
|
■где 2аЕ—зона нечувствительности реле. |
|
ki-го и |
|||||
3. |
Уравнение с учетом |
сил |
сухого |
трения |
|||
/г, 't+1-го чувствительных элементов, симметричных отно |
|||||||
сительно оси z при повороте относительно шарнира креп |
|||||||
ления тяг: |
|
|
|
|
|
|
|
|
“*/=Yw^<P--^L sign акі |
при |
aki |
0; |
|
||
|
- |
|
E“. |
|
|
|
(4. 6) |
|
|
при |
ciw = |
0; |
|
||
|
Ъі= К і—Yft/TK-^- |
|
|||||
a*,/+i — |
I 'f |
*’,+1 sign afti/+1) |
ПРИ aft.<+i<0> |
ca |
|||
|
|
|
|
|
|
|
CO |
?Ä./+1— laA,i+l |
|
£fe,l+1 |
|
ПРИ «*,/+!= °» |
|
||
|
Yft,/+Icp| "C’ |
|
|
||||
где aki, aы+1— углы поворота чувствительных элемен тов;
ykh Ук,і+1 — коэффициенты симметричных жестких
обратных связей, поворачивающих чув ствительные элементы;
Е*ь £а,/+і— моменты сил сухого трения симметрич ных относительно оси 2 чувствитель
ных элементов, проявляемые при их вращении.
Знак «+ » перед — |
. |
стоит потому, что момент |
сил трения при повороте (k, г+1)-го чувствительного элемента имеет направление, противоположное направ лению момента сил трения, возникающего при повороте ki-то чувствительного элемента. При этом рассогласова ние системы (смещение шарнира крепления тяг чувст вительных элементов) от каждого чувствительного эле мента в отдельности имеет одинаковый знак. Графики собственного движения каждого чувствительного эле мента и суммарного движения приведены на рис. 3.4.
181
4. Уравнения перемещения жесткого центра чувстви тельного элемента вдоль тяг с учетом сил сухого трения
М+ыхАТ (*,1+1) —W BXII(*,/+1) —
е" |
. |
|
. |
fc/(ft,/+l) nlrrr, \Ѵ/ |
|
|
|
-----------------------Sign W пых*/ (ft,/ + 1) |
|
|
|
при |
W nmn (ft,i + i) 0; |
I |
(4.7) |
[ |
|||
_ |
|
I |
|
W * /(* ,i+ i)== |
пых*< (*,; + i) — W'nxfti (*,;+i)l + |
||
О |
---Mft^T-LL |
; Пр И |
Ü/rublxftf (A>/ +i) = ü, |
где |
WBxhi; У„ыхы, |
^вхм+ь ^вых м+і — перемещения |
|
жесткого центра чувствительного элемента и шарнира крепления тяг чувствительных элементов при наличии силы трения в шарнире от Ы-го и симметричного ему /г, г+1-ro чувствительного элемента; в" і+1 — силы су
хого трения чувствительных элементов, возникающие при их перемещении.
5. Уравнения симметричных жестких обратных связей
“*/=Ул/?; «*,<•+!= Yft./+іЧ>. |
(4.8) |
6. Уравнение устройства сравнения. Суммы проекций на оси z, у, X векторов сил, действующих на шарнир крепления тяг:
1р |
7 />_ |
|
F V V р . |
|
Sin |
Гz — 2-1Гшsin aÄ;+ 22 |
||
к=1і=1 |
ft=l/=1 |
|
1 Р |
1p |
|
Fy=2 2 Fkicosа«+ 2 2 F*’i+icos a*'i+i' |
||
*=i/=i |
k=*1Z=l |
|
* p |
jf P |
C0s а*''‘+1’ |
^ = 2 2 Fv:cosaw+2 2 |
||
*=11-1 |
ft=ii=i |
|
(4.9a)
(4.96)
(4.9B)
где Fhi, Fh, f+i — симметричные векторы сил, имеющие проекции на оси х, у и z; а а*, ,+і — углы поворота сим метрично расположенных чувствительных элементов.
182
Уравнения |
(4. 9) |
в перемещениях шарнира будут |
|
|
sin акі+1; |
А= 1 |
1=1 |
А= 1 1=1 |
1 ------£_ 7?.'/
* ы
S
Аяі Jatâ ^ki
A= 1 1 = 1
J___£_ p.r
* h
W7* - S S ^
A=1 1=1
|
(4.10а) |
I |
р |
cos а«+S |
5 і г ^ созаы+і: |
ytBBé *mé Will+1 |
|
A=1 |
1=1 |
|
( 4. 106) |
1 |
p |
Mse“ +s s f r “ “—
A=1 1=1
( 4. 10B )
где Wz, Wv, Wx — перемещения шарнира по осям z, у, х\
Сии Cu,i+i — коэффициенты жесткости чувствитель ных элементов.
7. Уравнение передаточно-множительного механизма
• a=Ki Wz. |
(4.11) |
Уравнения движения системы (см. рис. 4. 1) без за стоев чувствительных элементов, возникающих при нали чии сил трения согласно уравнениям (4.1) — (4.11), описывающим движение отдельных элементов, имеет вид
(7> 8+ /?/;)<p=-<D(W,);
А,1+ 1 |
|
) sin Y A - I+ I |
А, 1+1 |
|
S ig n U ^ « * |
А.1+1 |
|
S 'g n «А.1 + , ) , |
|
где sign Ѵ\/вых ш= |
sign ^ |
n,„x A . l+ li |
siS n a Al — |
sl'gn a A ,/ + li |
Й '.ы х А « ^ |
^выхА.і+l^ O i |
aA1^0; |
Oft.M-i^O. |
|
183
Движение шарнира в плоскости уОх (без застоев) с учетом того, что т чувствительных элементов находятся в пространстве, где z > 0, и п чувствительных элементов — в пространстве, где z < 0 , так что m + n = k , можно опи сать следующим образом:
тр
т =1
/
X cos у Ц ?
/=1 |
|
|
|
|
|
- |
ЕВ |
\ |
- |
Р / |
|
- f - sign amiJ- |
VJ |
у |
4-1 |
||
|
|
|
Ш=1 |
1=1 |
|
-S,gn ^ны* ш ,/+1 cosym, i+1j ^ - ^±1 X
X signam,m)+ V |
—~ sign'Хых« ;)х |
|||||
|
|
П=1 /=1 |
|
|
|
|
X cosy„; (?+ ^ f - sign an!) - |
V |
V |
( u/,.xЯ./+1 + |
|||
|
|
|
/1=1 |
/«I |
|
|
nfi-h1 |
|
|
|
? + |
|
|
sig n l^ x * ./+1 COSY. M |
|
|
||||
X-signa„,,-+1j , |
|
|
|
|
||
,/4 1 ♦ |
’ |
\ |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
sign ^ в ы х m l = |
sign \ ^ n„ , m./+ i; |
Sign » /„ b,x |
= sign ѴРВИХ я,/+1; |
|||
sign âmi = sign ctmг+1; sign am-= sign a„,i+1; |
||||||
< « « / 5 0 ; |
|
|
^ « , 5 0 ; |
f+i ^ 0 ; |
||
чот;^ |
0, |
ci„;^0, |
Щі.і+і |
0, |
||
( m = 1, 2 ,.. ., k — n; n = 1, 2, ... , k — m\ / = 1, 2,...,/?).
WXy — отклонение шарнира в плоскости уОх от нулево го положения.
При наличии застоев в движении чувствительных эле ментов уравнения движения имеют вид:
184
а) застой при повороте чувствительных элементов
|
|
I |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W, |
- у |
у |
|
UP. xft/' |
sign W |
ВЫХ |
sin <PW + |
|
|||
|
|
jme |
jasA |
|
|
|
|
|
||||
|
|
l!=1 |
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sign \^,„JXы+ 1 j |
sin »ft,/+!' |
|||||
*=1 |
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4. |
126) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wt1ЫХш^ 0; |
|
||||
где |
sign # ПЫХw = |
sign \Г]1ЫХftii.+1; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
r nblxft,;+i^ 0 ; ai/ —a*,i+i = 0> |
|
|
|
||||||
|
б) застой |
при |
перемещении |
чувствительных |
эле |
|||||||
ментов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
Р |
/ |
|
в |
|
\ |
|
|
|
|
w г = |
Л=1 |
/=1 |
S i'1 |
~ |
S,'g n “ */) + |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-1 -Ѵ |
Цуы + 1 |
sin (? + - !-2+1 |
- sign Цй.г-ы) . |
(4. 12в) |
||||||||
где |
sign«â/i;= |
s'gnакЛ+1; |
W Baxkf = |
WвЫхЫ+1= |
0; |
|
|
|||||
|
|
|
|
ай/ - 0; |
-Д 0; |
|
|
|
|
|||
|
в) одновременный застой при перемещении и пово |
|||||||||||
роте чувствительных элементов |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
I |
р |
|
|
|
I ' |
р |
|
|
|
|
|
|
|
у ; |
^ « s i n ? w + ^ |
w k4+1 sin % „.+1, |
|||||||
|
|
*=i |
(=i |
|
, |
|
|
,-=i |
|
|
(4. |
12r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
ѴР„ЫХhi “Ь ^цых ft,/+l= |
0’> акі= |
ak,i+l = Q- |
|
|
|
||||||
Однако могут быть и более сложные случаи движе ний, когда застой при перемещении и повороте чувстви тельных элементов проявляется в разное время; эти случаи здесь не рассматриваются.
Уравнения движения шарнира в плоскости, уОх при наличии застоев в движении чувствительных элементов имеют следующий вид:
185
а) застой при повороте чувствительных элементов
тр
л У |
V.7 j |
Vт і |
к,1 |
^-sign\V/nblxmi) cos?mi- |
|
|
|
ж*т |
|
ѵг вх пи |
|
|
|
|
|
||
|
|
т - 1 |
/-1 |
|
|
т |
Р |
/ |
|
еп |
|
~ У ^ |
V |
^„хи>/+1-------S ig n и/„ыхИіі+1) cos cpm./+1+ |
|||
т —\ |
i = l |
|
|
|
|
пр
2 { w ^ ni^ ~ T s[gn^/B^ ni) cos^ ‘ ~
71 = 1 1=1
ИР
|
Ц/ИѴI |
Ьл,і-И |
Sign ^вых 71,1+1JCOS ®„,i+xi |
|
^І'ѵ их/м'+1'. |
Г) |
|
Г |
і=і |
|
(4. 12д) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
S ig n ^ н ы х mi = S ig n и г вых |
S ig n U'/„llx nl = |
|
= sign l^BbIXn,;+ij |
|
^выіт,/+1^^> |
|
. іі^пЫ Х я / ^ |
0 | i^ B U S 71.І+1 |
0 , C lm l |
^771,1+1 О ,„ I Ctn i + l 0 , |
б) застой при перемещении чувствительных эле ментов
тр
> ] ^ mi COS I »
sign dmi I
|
т — 1 |
1 — 1 |
|
|
|
|
|
т |
р |
__ |
, |
|
|
|
|
- |
V. 1 ^ га,£+1 COS^to- |
ni ,i + l |
signam,!+1 |
+ |
|||
пи°1 |
і5і |
|
|
j? |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ É S 'Ч - |
■sign a„, |
л У ^..'■+icosi <p+ |
|||||
/1=1 1=1 |
|
|
|
71 = 1 |
І = 1 |
|
|
|
|
|
71,1-1-1 sign ая>/+1 , |
|
|
(4 .12ej |
|
где sign d ml — sign am,£+1; sign d ni = sign a„,m ; |
Г |
= |
|||||
^ВЫХТТЫ+ І |
І^ВЫХ nl |
^ВЫХЯ,1+ 1 |
®7П І ‘*== |
®7Я,1+1 |
|||
186
в) застой при перемещении и повороте чувствитель ных элементов одновременно
fti р т р
= 2 |
2 |
^ |
C0S^ |
~ |
2 |
2 |
W m.l+:l c o s ? m / + l + |
т= 1 /=1 |
|
|
т—1 і= 1 |
|
|||
л |
Р |
|
|
я |
р |
|
. 12ж1 |
+ 2 |
2 ^ |
cos |
~ |
2 |
2 |
|
|
|
cos *?»•'+!’ (4- 1" |
||||||
Л -1 |
/ = 1 |
|
|
Л=1 f—1 |
|
|
|
где |
|
^выхт.іЧ-1 |
^вых пі |
^вых л,г'+1 |
|||
^ п ы х mi |
|||||||
|
а ті — а т,і+1 — а /і1 ~ |
а п,і і-1 — |
|||||
(т== |
|
— ѣ\ п--= 1,2,... k — m\ г = — 1,2,..., /;). |
|||||
4. 2. КОМПЕНСАЦИЯ СИЛ ТРЕНИЯ, НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ,
ГИСТЕРЕЗИСОВ, ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ.
УСЛОВИЯ КОМПЕНСАЦИИ
Сделав замену sin ain = Ksai<i и выполнив преобразо вания без учета застоев, возникающих при движении чувствительных элемёнтов и вызываемых наличием сил сухого трения, можно записать уравнение движения шар нира в виде
и ^ = л : л « 2 |
2 |
W <*«K + |
K S Y *,/+і |
^BX Ä.i+lT + |
|
|
(=1 |
|
|
|
Ä-l i = l |
где |
|
-1-д*-}-Да-|-Дз> |
(4. 13) |
||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cl |
-y - S ig n l^ « ® - |
||
|
|
|
|
||
|
|
Л’ = 1 |
i - l |
|
|
K SYb.i |
|
|
bfe,i+1 |
|
|
|
|
SignW/ Pb,xft,i+l'?; |
|||
|
|
A=1 |
(= 1 |
|
|
^ 2 — К |
s Y k i |
J T J |
J ? J |
^ в х А/ |
s *gn a fti ~Ь |
|
|
Л-Г |
|
|
|
KsYk.i+1 |
|
|
^ в х |
A.( + 1 |
s , g n a k .i+1> |
|
ft=l |
I - l |
|
|
|
187
|
|
— |
" E" |
sign WBUXki sign aki- |
К , yu V V |
E/Ji£*I |
|||
A3 = AsT |
|
|
|
|
|
fc=l |
1=1 |
|
|
■К3Уы+1 V |
V |
E*’/+r‘*-/+1 |
sign # „ ых ftif+1 sign аы+1. |
|
Ä=I |
;=i |
|
|
|
Из условий равенства нулю выражении для Аз и А3 следуют условия компенсации сил трения:
Ski ~ Sft/+ r £fti==E*,/-!-l’ У ы — Yft i+ i- |
- (4 - 1 4 ) |
Выражение для Ai можно преобразовать примени тельно к системе, изображенной на рис. 4.2, для k— 2>, і = 2:
Д і = — |
K s 4n - ^ s i g n |
Wamllv - K sy 12 |
S ig n й / в ы х 1 2 ? - |
|||
|
e" |
|
|
|
K s y 22- у - |
S ig n Wauyl 22® - |
— |
К S Y 21 |
S ig n Г |
п ы х 21< P - |
|||
|
II |
|
|
|
I« |
|
- |
к 5 Ѵ з і - у - s ig n |
і и вьіх 31CP - |
/ Q v 32 - у |
- S ig n u / „ bix 3 2 ? . |
||
С учетом |
|
|
|
|
|
|
sign WBaxu ==sign Г ВЬІХ1S = |
sign WBHX21 = sign lG a = |
|||||
|
= - sign \Gb,XЯ = - |
|
|
4 . |
||
|
sign И'вы* 3 2 |
И - у - = f F ki; |
||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
А і= / [ |
FnK synw |
FlzK$y 12Y |
^''аіЛѴУгі'Р |
||
-^2 2 ^ sVa2 ? + ^яАГ5Y3I? ~Ь -^3 2 ^ 5 ^3 2 ?] 1
так как согласно уравнениям (4.2), (4.8), (4.9):
2 2 ^'kiz~ |
^ llz ~ |
^чл-z F2O,Z-р F31z-)-F32iZ—О, |
Ä=1 j=l |
|
|
где |
_ |
_ |
Fnz —F uK syny — Fu sin аи; |
||
/ |
_ |
_ |
F\4z ==F12K $ у ц у /^i2 siп и12,
188
F21Z—FZ1K §Уъі9— s'n a2i>
/
F 22z ~ ~ F |
2 2 ^ |
22R === ^ |
24 ^ І П ^ 2 2 ’ |
F3iz~ |
F31K sy3yo= |
F31s\n a31, |
|
F33z= F33K |
F |
3%sin a32. |
|
Сделав в уравнении (4. 12a) замену соёуы^КсУы и выполнив преобразования, можно записать
т р т р
Wsl, = К сУт1^ 2 |
Wamn - K c V ml+1 2 2 ^oxmrn? + |
т—1/=1 |
m-1 /-1 |
+ к сyni V 2 |
w KX, u ? - K cy„ i+1 2 2 |
W W i<P + |
|
л=* 1 і =1 |
п—1 і = 1 |
|
|
где • |
+ Aj-j-A2-j-A3, |
(4. |
15) |
|
|
|
|
т |
р |
|
|
Д 1 — — К с У т І 2 J 2 ■ ^ s i S n ^ № i x m i ? + ^ c Y ™ , i + l X
т=1 /= 1
7* |
0 |
м |
|
|
|
л |
Р ^ и |
|
S |
^ T d-Sig,1^ ,x n,M-1? + ^cY„; У ] |
|
||||
Ш=1 |
І —1 |
|
|
|
|
Л=1 |
/ = 1 |
X sign \І^ІШХ ,„•<?—К сУн.і+і |
У ] |
У ] -^signW ^+rf; |
|||||
|
|
|
|
J U |
|
2 |
|
|
|
|
|
//=1 І=1 |
|
|
|
|
|
|
т |
р |
|
sign а„ |
|
|
а2 = - К СУт1 У , |
У |
Ѵ^пхші |
|
|||
|
|
|
|
. «к» |
|
|
|
|
|
|
т—1 /= 1 |
|
|
|
|
|
|
т |
р |
|
|
|
|
-\-К сУтл+1 |
'У , |
У і U/nx |
|
тл ‘ 1■ sign а т і+1+ ATSуПі X |
|||
лг—1 /—1
пр
X |
U7,,x'“ _2Lsigna" ^ cY"'‘'+r |
Л-1 |
/=1 |
Л |
Р |
|
Wm п.і+і - "’'+1 sign а Лі/+1; |
Л - 1 |
/ - 1 |
189
|
|
|
|
P |
II |
n |
Sign Weax mi Sign aml- |
|||||
Д 3—ксУ ml V, V, |
|
|
||||||||||
|
|
m—1 |
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t*1 |
_P___ |
II |
|
П |
|
|
|
|
|
КсУт .і +l У |
У |
|
1Zn |
|
|
|
|
|
||||
.!”Д±-1'"Д.+1- signW„ЬІХ,„,m X |
||||||||||||
|
|
m=1 |
іes1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X Sign |
|
|
|
« |
_Р |
И II |
|
|
X |
|||
+ K s Уmi у , У |
|
sign ІѴ/„ЫХ |
||||||||||
|
|
|
|
|
___ |
1=1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и=1 |
|
|
|
|
|
||
X sign a,„.- |
|
|
п |
|
_ |
J[ |
|
в |
Sign \ѴНЫХн/+ 1 X |
|||
/ссупЛ+1 У У -£~'+1~”'' |
||||||||||||
|
|
|
|
Л -1 |
/* 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X sign a„ гhl. |
|
|
|
|
||||
При |
выполнении |
условий |
компенсации- |
сил трения |
||||||||
(4. 14) |
выражения для |
Аі, |
Д2 |
и Д3 обращаются в нуль. |
||||||||
■Действительно, для |
системы, |
изображенной |
на |
рис. 4. 1 |
||||||||
и рис. 4. 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ді — — К сУи |
|
9 + К сYi2 |
|
У — К сУ2 і —~ 9 + |
||||||||
|
+ к сУ* - у- + ^с7зі -у- - |
|
К сУзі |
|
0; |
|
||||||
|
Дг — ^ cYn^nxu |
|
I"^ сѴіг ^ пхіг |
|
|
|||||||
АГсѴаі^вхаі у |
Н |
КсУ%і№ UX22 ~^ |
|
Ь Д-Х’зіАХхзі' |
‘31 |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
■АГсѴза^.»1X32 |
|
= 0; |
|
|
|
||||
Д 3—^ сУ п' |
^ |
|
КсУуі |
12^12 |
'К сѴгі |
21 21 |
|
|||||
|
|
- 22ь 22 |
т у |
|
г " |
сВ |
I |
1 S |
|
Е" |
п |
|
|
|
|
З |
' - М |
£32е32 |
|||||||
|
КсУ22 — г ~ ~ К сУ |
—;--- 1-А.сѴаа —Г “^ 0 |
||||||||||
190