книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания

так называемые стационарные движения, так как имен­ но они являются наиболее типичными для поведения си­ стемы в течение длительных промежутков времени. При рассмотрении малых отклонений системы от положения равновесия будем считать, что внешние воздействия не зависят от времени [2].

Согласно уравнениям (2. 1) — (2.26) для свободных колебаний имеем следующие уравнения движения:

Приведем уравнение (2.27) к безразмерной форме, разделив его члены на k (коэффициент редукции)

где

А = — \ В — —

k к

В2

Введем далее новую переменную х = — ср и безраз-

2.2. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Вкачестве фазовой поверхности выберем двухмер­

функции, приведет к тому, что фазовая поверхность бу­ дет составлена из фазовых листов, наложенных друг на друга [23, 24].

30

При £ < 0 система находится в положении равно­ весия:

х{1) =x(t) =0.

этого все возможные в системе виды движения будут

1. Фазовая поверхность при 0 ^ /^ т . Ввиду того, что при ^<0 Ф(сг)=0, независимо от величины начальных условий при 0 < ; ^ т Фт (от) =0. Следовательно, для рас­ сматриваемого отрезка времени уравнения движения имеют вид

у -Ь#=0;

(2. 29а)

х = у .

Решения (2. 29а) будут

Для определения фазовых траекторий первое уравне­ ние системы (2.29) можно переписать в следующем виде:

%У: I

Если взять начальные условия х0, у0, например, на

и подставляя их в уравнения для Д и Ь%, найдем новые линии переключения Lu и Li-.\

Для начальных условий х0 и уо, находящихся правее линии переключения Lu при t —x и Ф, (а)= 1 соглас­ но уравнению (2. 35) имеем

Л'*= ІУо+ Ч (1— e~'t) ~ х+ хо>

У^ = [Уо + Це~х~ 1-

Тогда

- * Ъ = - ж — ( ^ о + !) ( Д — е—

е

ИЛИ

Подставляя это уравнение в уравнение линии пере­ ключения Lu найдем L3T:

(Дат) УЛ1 — ет) = —хх—т + (е г— 1) + о. (2.41)

На прямых Li- (/=1, 2, 3, 4) происходит переключе­ ние реле в том случае, если начальные .условия таковы, что спустя отрезок времени т изображающая точка по­ падет соответственно на прямые А,ч-

Определим минимально возможные значения орди­ нат линий переключений t/imm и ргшіп (при скоростях, меньших чем г/Ітіп и г/гшш, переключений реле не будет).

Из уравнений линий переключений Д и Аз* в точке пересечения

реле не будет).

Фазовая поверхность системы обладает центральной симметрией. Ввиду этого точечное преобразование L^ можно строить не «самое в себя», а находить преобра­ зование Z.4* в Аз-t, симметричную ей относительно на­ чала координат. Для этого положим, что в некоторый момент времени, изображающая точка оказалась на по­ лупрямой А4т и характеризуется координатами Хо, уо. По уравнению полупрямой А4т найдем выражение х0 че­ рез уо.

Из положения *от, Уо-с изображающая точка идет по листу /. Фазовой траекторией является прямая, которая

34

пересекает линию Lu в точке Хи> Ун- Координаты точ­ ки пересечения прямой (2.31) и линии переключения Lu имеют вид

уи, найдем точку пересечения фазовой траектории и ли­ нии переключения L&

Введем следующие обозначения:

и = уох\ ѵ = —уи, а = ех;

f>x=— ± (-еТ-=--)~ 1 > 0; с = 2[а- т + (ет- 1 )] ет

и перепишем уравнение (2. 49) в следующем виде:

»

Выражение (2. 50) соответствует переходу изобража­ ющей точки на фазовой поверхности по листам / и II с прямой Ьг, на прямую L3т и является искомой функ­ цией соответствия точечного преобразования.

Функцию соответствия (2. 50) представим в виде двух функций:

^ і ( 'а) = ( 1 — ,н )е <п'; F z { u ) = { \ — йі + и )е е- а“ .

Точки пересечения этих функций определяют непо­ движные точки точечного преобразования, соответствую­ щие предельным циклам в системе, причем в точках

пересечения и—и Анализ взаиморасположения F\(v) и F2(u) показывает, что при F^(bz) > F 2(bz) может быть только одна точка пересечения (подробнее см. в разд. 3.2 и 3.3).

Аналитическое выражение для критического соотно­ шения параметров в этом случае, определенное из (2.50), в котором принято u = v = bz, имеет вид

В других случаях возможно несколько точек пере­ сечения Fі(и) и Fi(u). Критическое соотношение пара­ метров, определяемое по точкам касания F\(ѵ) и Кг(и), где

F\' (и) = [1 — а (I — bz-\-u)\ ес_бй

при u = v = bz имеет вид

— l + a — abx c-labx

--- “ >

1 — а

или

(2.53)

Разбиение плоскости параметров т=/(ff) на области качественного состояния (согласно 2.51) (устойчивость, колебания) показано на

рис. 2.16.

Выше прямой т=2а система устойчива для всех значений парамет-

Рис. 2. 16. Области качествен­ ных состояний системы

ров, если возможна одна точка пересечения Fi(v) и F2(U). Ниже этой прямой система испытывает колеба­ ния.

2. 3. ПРИМЕР РАСЧЕТА ТОЧНОСТИ ПРИБОРНОГО СЕРВОМЕХАНИЗМА

Параметры системы: приведенный момент инерции' электродвигателя У 1,5-10~8 кгс-м2

устойчива (см. рис. 2. 16). Статическая погрешность си­ стемы при измерении скорости, равной 250 км/ч будет

Относительная максимальная погрешность равна

Г л а в а III

ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ПРИБОРНЫХ СЕРВОМЕХАНИЗМОВ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

ИЗАПАЗДЫВАНИЕМ

3.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СЕРВОМЕХАНИЗМОВ

Структурные схемы рассматриваемых систем [12— 16] приведены на рис. 3. 1. Конструкции большинства из них включают общие элементы, уравнения которых рас­ сматривались в разд. 2. 4.

Чувствительный элемент в разд. 2. 1 рассматривался безынерционным, без учета сил сухого трения. Такое рассмотрение ведет к искажению действительной карти­ ны движений системы на фазовой поверхности. А. А. Ан­ дроновым [3], а позже В. В. Петровым [22] сухое трение в чувствительном элементе учитывалось без учета инер­ ционности, что позволило более полно исследовать дви­ жения системы. —

На рис. 3. 1, а, б, в, г, д приведены структуры систем, имеющих чувствительные элементы не только в прямой цепи усиления сигнала, но и в обратной связи, так назы­ ваемые системы с силовой компенсацией рассогласова­ ния в устройстве сравнения. Сухое трение в чувствитель­ ном элементе, находящемся в обратной связи, в отличие от чувствительного элемента, находящегося в прямой цепи усиления, проявляется не только при его перемеще­ нии, но и повороте вокруг некоторой оси при отработке сигнала обратной связи. Действие инерционных сил чув­ ствительных элементов можно учесть через запаздывание в переключении реле. При этом полагают, что инерци­ онные силы чувствительных элементов не вызовут другого эффекта, кроме запаздывания в переключении реле.

38

39

Рис. 3. 1. Структурные схемы систем с сухим трением в чувствительном элементе