книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания

то ч ка пересечения Д Д ц ) и Д а(й), то в ней Д олж но быть

справедливо неравенство

но. Система устойчива только при s0=0, а при ео>0 она становится абсолютно неустойчивой.

Неустойчивое положение равновесия определяется из уравнения интегральных кривых

Фазовые траектории раскручиваются (см. диаграммы точечного преобразования на рис. 3. 21).

Для оценки влияния жесткой внутренней обратной связи необходимо учесть также второе уравнение дви­ жения системы (3. 199)

Путем точечного преобразования полупрямой + х

найдем функцию у{х) для листа, где Ф(ст) = -Ы, пред­ ставляющую собой границу переключений реле при

а = 0. Она представляет собой образ полупрямой + х при соблюдении (3.213) по преобразованию, определяемо­ му уравнениями для листа Ф (о) = ± 1.

Преобразование у (х) имеет вид

по

для листа, где Ф (сг) = +1, и

для листа, где ф(ст).=—1.

Точечное преобразование L4 в кривую (3.214) в си­ лу симметрии фазового портрета есть преобразование L4 «самое в себя». Оно имеет вид

ют точки пересечения, положение равновесия является неустойчивым (рис. 3.22).

При наличии положи­ тельной внутренней жест­ кой обратной связи урав­ нения кривых обращения скорости в нуль преобра­ зуются к виду

-Lj/3 = x ( Y - l) + a0 + -fl

(3.219)

для листа, гдеФ(сг) = +1, и

для листа, где Ф(о)= — 1, а преобразование у (х)— к ви­

111

При учете запаздывания в переключении реле имеем закон изменения фазовых координат от времени в виде

Линии переключения реле при учете запаздывания

С^іт) —у*?— — ■^t + aoH—Y !

(3. 223)

(Z.2t) — yxx = - x z- a 0— 4

При Ф ,(а)= + 1 изменение фазовых координат проис­ ходит согласно

Х-:— + — -j-у0 1 -f х0;

(3. 224)

У* =~Уо ±

Из уравнений (3.51) и (3.224а) найдем линии переклю­ чения:

112

Определим взаиморасположение Fi(v)'=v2 — аѵ и F2 {u) —и2 — <111+ с.

Кривая F2 (u) отсекает на оси ординат отрезок, рав­ ный F2 (0) = 2 ёо—т2>0, если 2ео>т, и в начале распола-

Рис. 3.23. Взаимное рас­ положение кривых точеч­ ных преобразований си­ стемы при .2ео>тг и 2е0< т 2

из

Когда т2> 2е0, система устойчива «в малом» (обра­ зуется неустойчивый предельный цикл) и неустойчива «в большом» при

где уаопределяется из (3. 230).

Определим границы особой области застоя или пре­ образования у(х) при учете запаздывания в переключе­ нии реле. Согласно (3.215) и (3.224а) имеем два листа, где Ф (ст) = +1:

у* + 2іих (1 -\г К ) = — 2Кхч-\-х1 { К — 1) + 2 (°„+ -у) (3. 232)

и для листа, где Ф(о)= — 1:

у* + 2у^х(К- \)= 2 К х ^ { К - 1)+ 2 (° о + у ) ■(3- 232а)

Когда движение изображающей точки начинается при больших отклонениях за кривой переключения (3.232) или (3.232а), движение происходит по прямой спустя отрезок времени т, и переключение происходит на кривых (если изображающая точка достигнет их):

для листов Ф(а)= —{—1 и Ф(о)= — 1 соответственно. Точечное преобразование Ц т в кривую (3. 232) имеет вид

где ѵ = —у2, и=у0; а — К — 1; Ь = 2т; с — К;

d = x 2(K — 1); *■ = Y + l.

Определим возможное взаиморасположение Р г (ѵ) = = a v 2 — abv и F2 {u) = cu?-{-bcii — d для у>1 (рис. 3.24).

114

Отрицательный знак перед корнем соответствует ам­ плитуде колебаний уа< 0, что противоречит исходным условиям (кривые /, на рис. 3. 24). При y d предельные циклы не образуются, система не имеет устойчивого по­ ложения равновесия (кривые II, на рис. 3. 24).

115

Для случая положительной жесткой обратной связи

где а —у; Ь —2т; с— 1 —у; гі= т2у.

Определим возможное число точек пересечения кри­ вых в этом случае

Fx (v) = — аъI2 -(-abv, /Д (и) = ca1 -j- beit -f-d.

Так как F z(0 )= d и Fz(0) >/ч(0) — 0, то в точке пересе­ чения кривых

Неравенство (3.241) выполнимо при малых и, а с увеличением и оно нарушается. Следовательно, возмож­ ны две точки -.пересечения кривых. Образуются два пре­ дельных цикла. Меньший цикл —• неустойчивый, а боль­ ший — устойчивый (см. рис. 3.24). Амплитуда колеба­ ний определяется выражением

і/а2— —т (1 - f 2у) + X V 1 — 5у + 4 у 2. (3.240а)

Из (3.240а) следует, что в системе при 2у>1, если выполняется неравенство

(Z2) x+bTly= -30-f;.

(3. 243)

(L3) х + р Г іУ=<,0— ^ ;

(А,) x ^ Tly = - ^ + - f .

116

Точечное преобразование Li в L4:

где ѵ = — у2; и = у0\ а = р7’1; Ь = 2г 0 + рг1й

Рис. 3. 25. Взаимное рас­ положение кривых точеч­ ных преобразований си­ стемы со скоростной об­ ратной связью.

кривой F2 (U).

В зависимости от значений а диаграммы точечного преобразования приведены на рис. 3.25: / — для относи­ тельно больших значений ßTj и II — для относительно малых значений ß7V

При и ~ ѵ = уа из (3.245) можно определить единст­ венную точку пересечения Fi(v) и F2 (u):

( 3 ' 2 4 6 )

Характер пересечения /ч(а).и F2 (u) показывает, что

эта неподвижная точка соответствует на фазовой поверх­ ности устойчивому предельному циклу. При v<Zyc_v ав­ токолебания могут устанавливаться в скользящем режи­

117

Могут быть следующие случаи:

1)рГ^т. Кривые Fi (V) = ѵ2 + 2аи и F2(u) = и 2— 2аи +

+с могут иметь одну точку пересечения, так как Fі(0) =

=0, F2(0) = C и F2{0)>Fi(0). Если выполняется условие

что возможно. Другой точки пересечения кривых нет, так как в ней при и— ѵ нарушилось бы неравенство (3.255).

2) рГіСт. Кривые Fi(v) и F2 (u) не пересекаются, так

как неравенство (3. 255) не выполняется, система абсо­ лютно неустойчива (рис. 3. 26).

Предельный устойчивый цикл при рГі>т определяет­

Неравенство выполнимо при рГі-сСт. Предельный цикл при и= V= уа неустойчивый. Система устойчива «в ма­ лом» до у^Уа, где у а — определяется уравнением (3.256).

Преобразование у (х) для листа, где Ф(0) = + 1:

~Преобразование Дх в кривую (3. 257)

или в стандартной форме

где ѵ — — у2\ и = у 0\ а = 237\; 'й—2(87\ —т); c=2ß7\T.

119.