книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания

Путем точечного преобразования полупрямой + х най­ дем для листа, где Ф(сг) = + 1, функцию у ~ Ң х ) , пред­

ставляющую собой границу переключений реле при а = = 0. Для этого в уравнение (3. 142) подставляются зна­ чения изменения координат х и у во времени:

ІП |уе' + 1І— У [е* — (1 + ѵ ) (е т — l)l + o0 + ^L. (3.147)

1 + у

Уравнение (3. 147) представляет собой уравнение гра­ ницы области, где реле Фт(а) выключено (см. рис. 3. 14). Другой границей области является край листа L3x. Из уравнений (3.147) и (3.85) имеем выражение для Ь3^:

где е0 — сила сухого трения;

уа- — амплитуда возможных колебаний в системе; Ус.тр- — ордината области сухого трения (где Фт (а) =

= 0) прн наличии запаздывания.

Из рис. 3. 15, б видно, что с увеличением запаздыва­ ния %при некоторых е в системе область автоколебаний несколько увеличивается. При увеличении силы сухого трения выше значения ек Р 2 система становится устойчи­

вой.

Аналогично случаю, когда запаздывание не учитыва­ лось, целесообразно рассматривать поведение системы до еКр2 . соответствующего ординате области сухого трения

2. Система с внутренней скоростной обратной связью

Свободные колебания системы в безразмерных вели­ чинах описываются системой уравнений (3.47) при у = 0.

90

Ниже рассматривается влияние скоростной внутренней обратной связи на динамику системы без учета и с уче­ том запаздывания.

А. З а п а з д ы в а н и е не у ч и т ы в а е т с я

В 3. 2 было исследовано поведение системы со ско­ ростной обратной связью, описываемой уравнениями (3.44). Результаты этого исследования справедливы н для системы с внутренней скаростной обратной связью при исследовании первого уравнения (3.47). При иссле­ довании динамики необходимо также учесть второе

уравнение (3.47) аргумента Ф(а) при а = 0. Переключе­

ния Ф(ст) определяются не только линиями, соответст­ вующими (3. 103). Переключение из-за действия внут­ ренней обратной связи может произойти при неподвиж­

ном чувствительном элементе, когда <х=0. Условием переключения будет

Величину х, входящую в уравнение (3. 151), можно выразить через значение координаты х = х 0, соответству­ ющей моменту і о= 0 :

Переключение для листов Ф(о) = ± 1 будет происхо­ дить при

ляющую собой границу переключений реле при а = 0 . На основании уравнения (3.78) и уравнения (3.153), взя­ того со знаком минус, для листа, где Ф(а) = + 1, найдем (рис. 3. 16):

Максимальное значение ординаты области «сухого трения», исходя из уравнений (3. 154) и (3. 103) будет

91

Область «сухого трения», очерчиваемая уравнением

92

так как в этом случае изображающая точка попадает в область «сухого трения» (где Фт(а) = 0) и движется в

положение равновесия.

93

Для изучения поведения системы в общем виде до­ статочно рассмотреть интервал О <) г/с трт 1, или О< г/ат< І.так как не может быть г/Ят>>1*. Очевидно, си­ стема устойчива при

При малых значениях сил сухого трения е система может быть автоколебательной (ус трт <СУаі Уакрт)1

если значещш величины отрезка притяжения положения равновесия Ь^<Суакр, и, кроме того:

у~В0 может несколько сократиться. Скользящего режи­ ма может не быть при ус.т^^> Уа- в зависимости от то­ го, где в конечный момент движения окажется изобра­ жающая точка при вхождении в область «сухого

трения», в которой Ф^(з) = 0. Минимальная ордината скользящего режима согласно (3. 125)

Утіп с.р Уі Ус.трт>

где Уі — ордината скользящего режима системы (3. 130).

чин амплитуды и ординаты области «сухого трения».

94

3. Система с жесткой и скоростной внутренними обратными связями

Уравнение движения системы (см. рис. 3. 1,е) в без­ размерных величинах имеет вид (3. 47).

Возможны следующие случаи:

1. $ Т у Ж \ /< = у+ 1> 1 . При любых начальных усло­ виях система в скользящем режиме идет к положению равновесия.

2. ßТ! < /С; К > 1. Фазовая поверхность при отсутствии запаздывания в координатах х, і = г/ распадается на три листа, границы которых имеют вид:

Уравнения фазовых траекторий на листах определя­ ются уравнениями (3.75) и (3.78). Точечное преобразо­ вание прямой L4 в прямую L3 имеет вид (3.92), откуда:

К-ѴГх

При учете запаздывания поведение системы как и в случаях, рассмотренных в 3.2, удобно рассматривать по отрезкам времени на трехлистной фазовой поверхности с .выделенными областями переключений реле.

Уравнения линий переключений, полученные при ус­ ловиях, рассмотренных в 3. 4, будут в отличие от линий

95

(3. 165) смещены влево в плоскости у > 0 за счет запаз­ дывания т:

Переключение реле происходит так же, как и в 3. 2, Границы областей переключений следующие:

Для больших значений т, при которых Ат лежит правее Ат, если

переключения реле не произойдет. Система не имеет устойчивого положения равновесия.

Точечное преобразование прямой Ат в прямую Ат имеет вид:

96

которое можно представить уравнением вида (3. 92) при

2о + (/< — рг0 (ет— 1) — %К

(/< - РГО ет

Анализ Fi(v) и Ftiu) показывает, что при отсутствии запаздывания (т=0) в системе может быть один устой­ чивый предельный цикл, а при наличии запаздывания — несколько чередующихся устойчивых и неустойчивых циклов.

При учете второго уравнения системы (3. 47) имеется следующая граница области сухого трения:

1п|иет + 1[ — гу.ет — рГ1.^ет + Д і/(е т — 1) , д , _ е _ '

Уравнения линий переключений приобретают следу­ ющие значения:

(3.174)

учете запаздывания уравнения границ и областей пере­ ключений, а также критическое соотношение параметров

и(3. 135).

Сростом коэффициента у границы линий переключе­

ний смещаются к началу координат, как и в случае, рас­ смотренном в 3. 4.

Уравнение границы области застоя, вызванного «су­ хим трением», полученное с учетом второго уравнения (3.49), необходимое для выяснения второго критическо­ го соотношения параметров имеет вид

х3 —л1 = 1п|г/еТ-)-1| —г/ет-|-'Г—(ет — 1). (3.175)

Б . Н е л и н е й н а я в н у т р е н н я я с в я з ь

в и д а (х) = х 3

Уравнения линий переключений:

98

имеются два корня. Поведение системы неопределенное, имеется восемь линий переключения. При этом

Введением нелинейной скоростной обратной внутрен­ ней связи можно повысить статическую точность систе­ мы с сухим трением в чувствительном элементе анало­ гично случаю, описанному в 3. 4.

Выражения для критического соотношения парамет­ ров (3.161) и (3.163) при ■K=2ß7’1+1 справедливы и для этого случая.

3.5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПРИБОРНЫХ

СЕРВОМЕХАНИЗМОВ С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ СИЛ

СУХОГО ТРЕНИЯ, ПРИБЛИЖАЮЩЕЙСЯ К РЕАЛЬНОЙ

Компенсация сил сухого трения в чувствительном эле­ менте усложняет конструкцию систем (см. 3.3). Точ­ ность компенсации (перекомпенсации). определяется стабильностью сил трения, однако, последняя практиче­