книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания
.pdfния устойчивости колебаний применяется метод точечных преобразований.
При наличии внешних случайных возмущений, когда модуль сил сухого трения может быть переменным по величине, компенсация сил трения может быть прове дена по среднему значению.
Рассматриваемая теория относится не только к при борным сервомеханизмам, но также и к следящим си стемам и САР, которые описываются аналогичными уравнениями движения [12— 19, 23, 24].
Проблема сухого трения имеет свою предысторию.
В отличие от жидкостного трения влажных поверх ностей трение сухих поверхностей принято называть су хим. Сухое трение является сложным явлением, которое до сих пор не имеет достаточного физического объясне ния. Причина этого заключается в том, что трение пред ставляет собой сложную совокупность многих физиче ских явлений. Оно характеризуется скачкообразным возникновением сил, их изменением в зависимости от продолжительности контакта, изменением коэффициен та трения и т. д.
Современная теория объясняет трение как сложное физическое явление, в котором механическое разрушение материала деформативной зоны сочетается с взаимодей ствием молекулярных полей.
К настоящему времени накоплен обширный экспери ментальный материал по изучению физической природы трения. Однако универсальной теории трения не сущест вует. Тем не менее, теоретические исследования с уче том сухого трения дают результаты, хорошо согласую щиеся с практикой.
Задача о влиянии сухого трения на процесс прямого регулирования возникла в связи с исследованием И. А. Вышнеградским динамики регулятора при прене брежении силами сухого треиия [6]. Им было сделано предположение, что сухое трение, подобно вязкому, мо жет обеспечить устойчивость систем регулирования. Попытки учесть силы сухого трения долгое время были безуспешными из-за сложности решения уравнений движения систем регулирования, учитывающих силы су хого трения.
Графические, графо-аналитические и аналитические способы решения этой задачи предлагались различными исследователями (Лекорню, Грдина, Мизес, Жуковским,
10
Рёрих и др.), однако это не привело к созданию общего метода анализа.
Исследование влияния сухого трения в чувствитель ном элементе на работу простейшей системы непрямого регулирования без обратной связи впервые было прове дено в 1885 г. Леоте, который получил результаты, пред ставляющие интерес для теории нелинейных систем [31].
Задача о влиянии сухого трения на процесс прямого регулирования с помощью фазового пространства была решена А. А. Андроновым и А. Г. Майером в 1945 г. Ими было установлено, что в системах прямого регули рования сухое трение может являться фактором, стаби лизирующим процесс регулирования [4]. Пространство параметров было разбито на области, соответствующие одинаковым фазовым портретам; были получены перио дические решения и определены области устойчивости системы.
В 1946 г. А. А. Андроновым, И. Н. Баутиным и
Г.С. Гореликом были получены полные решения задачи
овлиянии сухого трения в чувствительном элементе на процесс непрямого регулирования [3]. При этом объект рассматривался как с саморегулированием (положи тельным, отрицательным), так и без саморегулирования. Наряду с сухим трением учитывались нелинейные харак теристики сервомотора.с постоянной и переменной ско ростями и мертвый ход золотника. При помощи теории точечного преобразования поверхностей эта задача была решена в трехмерном фазовом пространстве. Было по казано, что характер движений зависит от параметров системы и что в системах непрямого регулирования су хое трение может вызвать потерю устойчивости и появ ление колебаний, а величина зоны нечувствительности золотника способствует увеличению устойчивости. Ис следования были доведены до построения диаграмм устойчивости системы для различных значений ее пара метров.
Задача о влиянии сухого трения в чувствительном элементе на процесс регулирования была также решена в функции по времени [10] и рассмотрена для случая объекта без саморегулирования на трехлистной фазовой поверхности [22].
Запаздывание, существенно влияющее на динамику систем и точность регулирования, рассмотрено в [30, 29, 32, 28, 1]. .
п
Движения релейных сервомеханизмов, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка с запаздывающей функцией иа многолистиой фазовой по верхности, были рассмотрены в работе [23]. Были най дены законы движения релейных систем с запаздывани ем при любых начальных возмущениях и сформулиро вана методика исследования подобных систем.
Исследованию движений релейных сервомеханизмов с учетом сухого трения в чувствительном элементе (устройства сравнения) и запаздывания при переключе нии реле посвящены работы [12—15, 24], где рассмотре но влияние особых областей, возникающих из-за нали чия сил сухого трения, влияние обратных связей на устойчивость колебаний.
Компенсации сил сухого трения в устройстве сравне ния посвящены работы [16— 19].
В данной книге рассматриваются вопросы расчета и проектирования релейных сервомеханизмов с учетом су хого трения в чувствительном элементе и запаздывания при переключении реле, их динамика и способы повы шения точности. Перечисленные задачи ограничены рас смотрением только свободных колебаний, т. е. движе ний, совершаемых сервомеханизмами вблизи положений равновесия. Вынужденные движения в книге не рас сматриваются,— это является задачей самостоятельных исследований.
Г л а в а I
ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ САР И ПРИБОРНЫХ СЕРВОМЕХАНИЗМОВ С СУХИМ ТРЕНИЕМ
ВЧУВСТВИТЕЛЬНОМ ЭЛЕМЕНТЕ И ЭЛЕМЕНТЕ СРАВНЕНИЯ
Вглаве приводятся результаты решения задачи с су хим трением в чувствительном элементе с помощью миоголистной фазовой поверхности и показывается, каким образом движения нелинейных систем могут быть ото бражены на двухмерной фазовой поверхности. Редуци рование трехмерного фазового пространства в двухмер ное оказалось возможным за счет использования многолистйого представления и выделения на многолистной
фазовой поверхности областей |
застоя |
чувствительного |
и исполнительного элементов |
[22]. |
|
1.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ |
|
|
Уравнения движения системы (рис. |
1. 1) имеют вид: |
|
7Ѵр= — |а |
— уравнение объекта; |
|
Л= —ср — — sign г) при rj^O
&28
|
|
|
|
—уравнение |
чувст |
|8Л— |
ПРИЛ = 0, или Т)=Л |
вительного элемен- |
|||
|
|
|
* S |
— уравнение |
приво-|('-і) |
|
|
|
да; |
|
|
|
( |
1 |
при а [> О |
|
|
|
Ф (а)= I |
0 При а= 0 |
—уравнение |
релей |
|
|
[— 1 |
При а < О |
ного элемента; |
||
|
|
|
а= Ц — |
— уравнение |
элемен |
|
|
|
|
та рассогласования, |
|
13
где |.i. — координата выхода; а — координата безынер ционного элемента с сухим трением; TaTs — постоянные коэффициенты, характеризующие инерционность объек та регулирования и сервомеханизма; у — коэффициент жесткой обратной связи; е — коэффициент, характеризу-
Рис. 1.1. Структурная схема системы
ющий силу сухого трения; Ф — релейная функция; б — коэффициент неравномерности чувствительного эле мента.
Уравнения (1. 1) можно представить в виде
$ ( - f ? + Y 7 > - ^ s ig n ^ )n PH *1^0;
( 1. 2)
ф ('У7Ѵр+ т)) ПРИ *1 = 0,
где т] и г) определяются из уравнений (1. 1). Из уравне ния (1.2) видно, что вследствие трения в чувствитель ном элементе аргумент релейной функции представля ется нелинейным выражением.
1.2. ДИНАМИКА СИСТЕМ С СУХИМ ТРЕНИЕМ
В ЧУВСТВИТЕЛЬНОМ ЭЛЕМЕНТЕ В РАССМОТРЕНИИ НА МНОГОЛИСТНОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Исследование динамики системы может быть сведе но к изучению точечного преобразования прямой в кри вую с помощью многолистной фазовой поверхности:
і/= ф; <р-
14
Дифференциальное уравнение интегральных кривых запишется в виде
Т Т |
dy_ |
_Ф |
|
|
(1.3) |
|
1 а1 s |
d<f |
У |
|
|
|
|
Положение равновесия системы будет определяться |
||||||
из условия Ф= 0 и у = 0, |
функция |
Ф = 0 |
при |ф |^ —. |
|||
Фазовые траектории представляют собой параболы |
||||||
Т1 п*Т с У2 |
■со-]—С ДЛЯ |
Ф — |
-|—1 |
(1.4) |
||
cp -j- С для |
Ф — — 1 |
|||||
|
|
|||||
и прямые i/=const для Ф =0.
Так как в безынерционном элементе имеется сухое трение, то изменение направления движения этого эле мента, определяемое знаком его скорости, может быть выражено через изменение направления движения вход ной координаты <р. В тот момент, когда скорость входной
координаты ср=0, скорость выходной координаты чув
ствительного элемента ц = 0. После этого входная коор дината ф продолжает изменяться; координата же ц остается неизменной, пока ф не изменится на ширину петли, определяемой сухим трением и не примет значе ния фі= ф0+ е. Момент изменения направления движения координаты ф соответствует на фазовой поверхности мо менту пересечения траекториями изображающей точки оси абсцисс.
Фазовая поверхность имеет три листа: листы Ф= ±1 и Ф =0. Края листов соответствуют переключениям ре ле и представляют собой границы действия линейных дифференциальных уравнений.
Уравнения этих границ можно найти, приравняв ар
гумент релейной функции нулю: |
|
|
+ |
sign іі = 0; |
(1.5) |
Однако переключение реле может произойти и тогда, |
||
когда чувствительный |
элемент остается |
неподвижным, |
т. е. г)= 0. |
|
|
Условие переключения: |
|
|
УТѴР+^О; rj= 0, |
( 1. 6) |
|
15
При т]^0 краями листов будут прямые, уравнения которых (1.5) после их преобразования, имеют вид
1
(1.7)
5ута
Из уравнений (1.7) следует, что листы фазовой по верхности наложены друг на друга. Ширина наложения равна е. Однако необходимо учесть еще условие (1.6)
Величину г), «ходящую в уравнения (1.2) и (1.6), мож но выразить через значение входной координаты <р = сро, соответствующей моменту обращения скорости ее в нуль (фо=0), т. е.
Переключение будет происходить при |
|
{ ? о + ^ + т 7 ^ ° . |
(1.8) |
Найдем функцию у ( ср) (для листа |
ф = + 1), пред |
ставляющую собой границу переключений реле при т] = = 0, путем точечного преобразования полупрямой +ф.
Кривая у ( ф) представляет собой образ полупрямой +ф по преобразованию, определяемому уравнениями для листа Ф = -Н , при соблюдении условия (1.8).
На основе первого уравнения (1.4) имеем
T'J's -— = — І+'Ро- |
(1.9) |
Используя (1.9) и (1.8) со знаком минус перед е, получим уравнение границ переключений реле в следую щем виде (для листа Ф= +1)
йу ^2
( 1. 10)
ТІ
Уравнение (1.10) при принятой идеализации релей ной характеристики определяет границу области, где реле оказывается выключенным (Ф = 0). Другой грани цей этой области будет край листа ф = + 1. В области, очерчиваемой этими кривыми, сервомотор будет нахо диться в неподвижном состоянии,
16
На основе уравнений (1.7) и (1. 10) трехлистная фа зовая поверхность с областями отображения зоны мно гозначности характеристики сухого трения имеет вид, изображенный на рис. 1.2,а.
Точка пересечения кривой (1.7) и (1.10) со знаком минус означает, что переключение реле происходит в момент, когда изменение координаты ср произошло на
величину е. Из уравнения (1.9) можно установить, что это будет при. фі=сро — ей
В зависимости от того, находится ли эта точка в ле вой части фазовой поверхности относительно оси орди нат (рис. 1.2,6) или в правой части (рис. 1.2, в), струк тура фазового пространства будет различной.
Функция точечного преобразования полупрямой + у «в самое себя» осуществляется следующим образом. Так как траекториями изображающей точки являются пара болы, симметричные относительно оси абсцисс, а на ли-
Г сс . публичная научно ■Т'-;хиичо-«ая
’ библиотека COOS®
0 К З Е М П Л Я Р
сте Ф= 0 — прямые, параллельные ей, то замкнутые траектории могут образовываться в тех случаях, когда переключения реле происходят на оси ординат, т. е. при ср = 0 в точках пересечений краев листов с осью ординат, либо на прямых, параллельных оси ординат, в точках
пересечения их с краями листов и кривыми y = f ( ср), имеющими равные по абсолютной величине ординаты.
Для случая, изображенного на рис. 1.2, а, имеются две точки пересечения на оси ординат, которым соответ ствует устойчивый предельный цикл, и по две точки на прямых, параллельных оси ординат, которым соответст вует неустойчивый цикл. Для случая, приведенного на рис. 1.2,6, имеются две точки пересечения, соответству ющие неустойчивому циклу, а для случая, приведенно го на рис. 1.2, в, — ни одной точки пересечения, что оз начает абсолютную сходимость процесса регулирования.
Края зоны ± — являются устойчивыми точками равно
весия «в большом».
Бифуркационное значение параметров находится из условий существования полуустойчивого цикла. На ос новании (1.8) имеем
|
|
% = ~ ~ у т аьу. |
|
П -12) |
Так как |
полуустойчивому циклу |
соответствует сро = е |
||
при ф і=0, |
то |
подставляя ф0 в предыдущее |
уравнение, |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
2 Т а Ъу |
|
(1.13) |
|
|
|
|
|
Сравнивая |
с уравнением (1.11), |
найдем |
выражение |
|
для бифуркационных значений параметров |
|
|||
8В2?"ау2 |
(1.14) |
|
Ts |
||
|
Выражение (1. 14) представляет собой критическое соотношение параметров, разбивающее пространство па раметров на области, соответствующие абсолютной схо димости процесса регулирования и существованию пе риодических колебаний его.
Полученное выражение критического соотношения параметров полностью совпадает с результатами рабО’
ТЫ [3].
Г л а в а II
ДИНАМИКА ПРИБОРНЫХ СЕРВОМЕХАНИЗМОВ
СРЕЛЕЙНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
ИЗАПАЗДЫВАНИЕМ (БЕЗ УЧЕТА ТРЕНИЯ)
2.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СЕРВОМЕХАНИЗМОВ
Динамика приборных сервомеханизмов с релейным управлением и запаздыванием [13, 24] рассматривается на примере приборного сервомеханизма автоматическо го информационного устройства, работающего в режиме слежения (рис. 2. 1) и предназначенного для измерения числа М полета летательного аппарата.
Приборный сервомеханизм усиливает сигнал чувст вительного элемента и автоматически преобразует его в электрическую величину, пропорциональную динамиче скому напору.
Полное давление потока р0 поступает в полость чув ствительного элемента ЧЭ, роль которого выполняет мембранная коробка. В корпус преобразователя подает ся статическое давление р. На чувствительный элемент воздействует разность между полным и статическим дав лением, называемая скоростным напором, или динами ческим давлением:
q —Po — Р-
При изменении динамического давления q перемеща ется жесткий центр чувствительного элемента и с помо щью передаточно-множительного механизма ПМ пово рачивает щетку релейного элемента РЭ. Передаточномножительный механизм выполнен в виде кривошипно-шатунной передачи. Щетка перемещается по полукольцам блочка релейного элемента, разделен ных изолятором. Электродвигатель постоянного тока Д через редуктор жесткой обратной связи ЖОС поворачи вает блок релейного элемента и отрабатывает рассогла сование на входе прибора. Поводковая передача, ле-
19