книги из ГПНТБ / Петров В.В. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. Динамика сервомеханизмов при наличии сухого трения и запаздывания

друг другу, а рамки с чувствительными элементами ЧЭЗ и ЧЭ4 — расходятся. При уменьшении сигнала на входе системы перемещения чувствительных элементов проис­ ходят в противоположных направлениях. Шарнир креп­ ления тяг чувствительных элементов выполнен свобод­ ным. С ним связаны две щетки, перемещающиеся по по­ тенциометрам П1 и П2, с которых снимаются сигналы по двум направлениям х и у. Коэффициенты усиления Кп. м 1 и Кп. м2 можно перестраивать, но в процессе ра­

боты системы они остаются неизменными:

пределения которой будет также подчинена закону Га­ усса. Тогда случайные величины X и У можно рассмат­ ривать как прямоугольные декартовые координаты слу­ чайной точки на плоскость, радиус-вектор которой отно­ сительно начала координат представляет собой двух­ мерный случайный вектор с составляющими X и У. Можно найти закон распределения одной случайной ве­ личины X при условии, что другая случайная величина У принимает значение, заключенное в данных пределах

201

Уі <У< у2. Условно функция распределения случайной величины X относительно события y i < Y < y 2 (рис. 5.2) имеет вид [26]:

Рис. 5. 2. Функция распределе­ ния случайной величины

Дифференцируя (5. 5) по х, найдем условную плот­ ность вероятности случайной величины X при условии,

202

что случайная величина У принимает значения, заклю­ ченные в пределах у ± ^ У ^ у 2 ’-

У2

j’ / 2 Ш dy

У1

Условный закон распределения случайной величины X относительно случайной величины У согласно (5.5) и (5.6) будет

В общем случае плотность вероятности двухмерного нормально распределенного случайного вектора (X, У) выражается следующей формулой:

203

Выражения для условных математических ожиданий имеют следующий вид:

где

р__Р у

2 ' DXDU- K *

DxDy-Kly

В выражениях (5. 12) и (5. 13) корреляционный мо­ мент Кху и дисперсии Dx и Dy постоянны и могут быть вычислены или определены экспериментально; хп и уп измерены при помощи потенциометров П1 и П2 (см. рис. 5. 1) так что

(5. 14)

U ni = K %{mx + X°).\

Из уравнений (5. 12) и (5. 13) следует, что если из­ вестна величина уц или хп, то могут быть соответствен­ но определены M{XjY] или М[УД]. Тогда из уравнений (5. 13) и (5. 14) при Къ.ыУПу = Ки. и 2іпх

быть скомпенсированы, причем не только для стационар­ ного, но и не стационарного процесса.

Если положить, что из-за действующих на систему флуктуаций давлений (5.1), силы сухого трения по мо­ дулю имеют разброс относительно среднегозначения, то можно записать

204

Согласно уравнениям (3. 137) и (5. 16) движение си­ стемы с компенсацией сил сухого трения по среднему значению может быть описано следующей системой урав­ нений:

для перемещений по оси у

(Tp1Jr Rp)<o= — Фт(з); з —rij —т)2;

K ± = K W + K W - K W - K W \ K i = K W + K W - K W - K W ;

/ер= Pk$Ч.Э j K„.wifjKs ', K s min -C K s K s ,

уч.э 3

(y = l,2,3,4); (£=1,2);

205

Условием компенсации подобно тому, как это имело место для системы, рассмотренной в 3. 3, является сим­ метрия параметров чувствительных элементов относи­

Для системы, в которой при помощи устройства срав­ нения, изображенного на рис. 5. 1, помимо компенсации средних значений сил сухого трения осуществляется ком­ пенсация нескомпенсированных отклонений от средних значений сил трения. Согласно (5. 18) и (5. 14) можно записать

206

При выполнении условий компенсации происходит некоторое ослабление полезного сигнала. Условия ком­ пенсации средних значений помех или условия компен­ сации средних значений остаточных сил сухого трения согласно (5.19) будут

(5.21)

= к 2ц з)\ к хк [ ^ = к гк р .

5. 2. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ

ПРИ ДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Исследование устойчивости колебаний сервомеханиз­ мов при учете случайных возмущений, выбор параметров их в зависимости от уровня случайных возмущений, соот­ ветствующих устойчивым движениям, удобно проводить, рассматривая их движения на фазовой поверхности. Этот метод является наглядным и простым [17].

Рассматриваемый класс сервомеханизмов описывает­ ся следующим обобщенным уравнением движения:

T x - { - R x = — k<S {Фх(а, г,Х, $,х)- \-п{х,х)-\-/(х, х)\,

(5. 22)

где Ф — нелинейная функция релейного типа; Фі — не­ линейная функция с зоной неоднозначности, вызываемой гистерезисами или силами сухого трения; а, е, х — пара­ метры системы, характеризующие нечувствительность реле, гистерезис или силы сухого трения и запаздывание в переключении реле; п(х, х) — полезный сигнал на вхо­ де системы; f(x, х) — функция, характеризующая адди­ тивное случайное возмущение с любым законом распре­ деления.

Функция f(x, х) может быть задана предельными от-

'клонениями по скорости и перемещению. Приведенные отклонения по скорости на входе системы с учетом от­ клонений по перемещению составят:

(5. 23)

где йпах, -Train — предельные значения отклонений систе­ мы по скорости с учетом случайных возмущений; і п — отклонение системы по скорости, отнесенное к полезному сигналу; і™ ах; — предельные значения отклонений

207

системы по скорости, отнесенные к действующим возму­ щениям.

Без учета случайных возмущений в системе имеют ме­ сто устойчивый предельный цикл и область устойчивых колебаний в пространстве параметров, если выдерживает­ ся определенное соотноше­

ние параметров.

При наличии случайных возмущений могут иметь ме­ сто колебания с разбросом, определяемым отклонения­ ми Ду случайной величины от среднего значения и по­ лем разброса колебаний Д (рис. 5.3).

Для существования устой­ чивого предельного цикла необходимо, чтобы он не вы­ ходил за пределы области флуктуаций; налагаемые на предельный устойчивый цикл флуктуации будут возрас­

тать по мере выхода цикла из области флуктуаций. Если размеры области флуктуаций превышают размеры само­ го предельного устойчивого цикла, определенного без учета случайных возмущений, то будут иметь место стоха­ стические движения. Для существования устойчивого предельного цикла без флуктуаций необходимо, чтобы он охватывал все возмущения, действующие на систему.

А. Установившиеся движения

Для рассматриваемого класса систем в установив­ шемся режиме работы возможно сформулировать и до­ казать следующие теоремы существования и устойчиво­ сти предельного цикла при учете внешних случайных возмущений [17]:

Т ео р ем а 1. В фазовом пространстве нелинейных си­ стем, относящихся к классу однокаскадных и имеющих в пространстве параметров области устойчивых колебаний, при наличии внешних случайных возмущений возможно область (или «трубку») разброса колебаний, определяе­ мую уровнем действующих возмущений, описать одним (или двумя) устойчивыми предельными циклами (если

208

уровень возмущений меньше амплитуды возможного цикла) и определить параметры системы, соответствую­ щие этим циклам.

Т ео р е м а 2. В фазовом пространстве нелинейных систем, относящихся к классу однокаскадных и имею­ щих в пространстве параметров области устойчивых ко­ лебаний, при наличии внешних случайных возмущений для существования устойчивого предельного цикла (от­ сутствия срывов, стохастических движений) достаточно, чтобы параметры исследуемой системы находились в пределах, определяемых из условия существования пре­ дельных устойчивых циклов по границам области (или «трубки») разброса колебаний.

Доказательство теоремы 1. Для класса систем, име­ ющих нелинейный аргумент релейной функции, обуслов­ ленный сухим трением (или гистерезисом) и запаздыва­ нием в переключении реле, функция последования точеч­ ного преобразования линий переключения «самое в себя» имеет вид

етодин предельный устойчивый цикл [при Fx(йх) > F2 (bz), а также и при т=0] или несколько предельных неустой­

(1-Р) ет’

209

Анализ уравнений (5.25) показывает, что в системе при Р 1(Ьт;)^>Г^[ЬХ возможны два устойчивых предель­ ных цикла, определяемых уравнениями (5.25), описыва­ ющих «трубку» разброса колебаний, амплитуда кото­ рых по скорости составит

ветственно. Параметры системы, определяющие сущест­ вование граничных устойчивых циклов, будут находить­ ся в одной и той же области качественного состояния — области колебаний. При вырождении одного устойчивого предельного цикла в другой параметры системы изме-

210