2.10. Решение разностных уравнений второго порядка с помощью z-преобразования

Исследование уравнения второго порядка, описывающего явление резонанса, позволяет лучше понять свой­ства частотной избирательности дискретной системы. Рассмотрим уравнение

(2.23)

с начальными условиям . Применяя z-преобразование, получим

(2.24)

где зависит полностью от параметров цепи и мо­жет рассматриваться как системная функция. Если в качестве входного сигнала принять единичный импульс (первая строка в табл. 2.1), то и можно найти с помощью обратного z-преобразования:

(2.25)

где

Из (2.25) получим

(2.26)

Наиболее интересным случаем является условие , когда и становятся комплексными чис­лами и и . Подставляя их в (2.26), получаем

(2.27)

Уравнение (2.27) представляет синусоиду с амплиту­дой, затухающей до нуля по закону показательной функ­ции и одновременно колеблющейся с угловой частотой b, выражаемой в радианах. Действительно, полученный ре­зультат является дискретным вариантом отклика простой RLC резонансной схемы на импульс. Поэтому можно ожидать, что частотно-избирательные свойства уравне­ния (2.23) будут аналогичны свойствам RLC-схемы. Пра­вильность этого заключения можно проверить, подстав­ляя синусоидальное колебание в (2.23). В этом случае можно показать, что установившаяся часть выражения для выходного сигнала опреде­ляется таким образом:

где комплексная функция в точности равна , введенной в (2.24), и, таким образом, является функцией, зависящей от частоты. Из (2.24), используя значения корней из (2.25), можно записать выражение

(2.28)

которое может быть непосредственно интерпретировано геометрически с помощью рис. 2.9 в виде величины, пропорциональной векторному отношению . Заметим, что приближение точки P к полюсу вызывает уменьшение расстояния и увеличение величины . Мы видим, что резонанс наблюдается тем отчетливее, чем ближе расположены полюсы к единичной окружности. Явные выражения для и можно найти непосредственно из рис. 2.9:

Рис. 2.9 Представление цифрового фильтра второго порядка в z-плоскости

Ha рис. 2.10 представлена зависимость от часто­ты для , резонансной частоты 1500 Гц и несколь­ких значений r. Амплитуда и фаза должны быть периодическими по ; это следует из начального допу­щения о дискретности входного сигнала и проявляется в том, что для представления на z-плоскости использует­ся единичная окружность.

(2.29)

Из (2.27) также ясно, что для система является неустойчивой.

Рис. 2.10 Частотная характеристика цифрового резонатора для нескольких постоянных затухания

2.11. Двустороннее z-преобразование

До сих пор обсуждение ограничивалось «каузальной» дискретной линейной системой, т. е. системой, которая не может дать отклик прежде, чем на ее входе появится возбуждающий сигнал. Это ограничение в неявной виде присутствует в разностных уравнениях, в которых выход всегда является функцией предыдущих и никогда не является функцией будущих выходных сигналов. Вве­денное ранее понятие частотной характеристики часто помогает снимать ограничения, накладываемые каузаль­ностью. Например, фильтр с прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой и линейной фазой в поло­се пропускания является полезным математическим объ­ектом, который можно вводить в систему, несмотря на то, что он физически нереализуем. Такие фильтры легко описываются для дискретных задач с помощью двусто­роннего z-преобразования.

Вместо определения (2.7) введем двустороннее z-пре­образование следующим образом:

(2.30)

которое можно записать в виде

(2.31)

Первая сумма в (2-31) представляет собой односторон­нее z-преобразование, которое сходится для где — верхний предел последовательности . Вторая сумма сходится для где — верхний предел последовательно­сти . Напри­мер, если , то двустороннее z-преобразование имеет кольцо схо­димости, показанное на рис 2.11.

Рис. 2.11 Допустимая область интегрирования для обращения двустороннего z-преобразования

Обратную теорему можно получить в соот­ветствии с методикой § 2.6, что приводит к точ­но такой же формуле, что и (2.9). Интегрирование можно выполнять вдоль единичной окружности, если при этом удовлетво­ряются определенные вы­ше условия сходимости.

Пример. Для данного дискретного линейного фильтра с амплитудно-частотной характеристикой, показанной на рис. 2.12, и нулевым фазовым сдвигом на всех частотах найти весовую функцию, кото­рая понимается как отклик на единичный импульс при .

Рис. 2.12 «Идеальная» прямоугольная частотная характеристика цифрового фильтра

Используя (2.9) с и и полагая , получаем

Заметим, что является четной функцией . Это всегда верно, если фазовый сдвиг цепи взят равным нулю. Если фильтр имеет линейную фазу, можно показать, что импульсная характеристика буде такой, как ни рис. 2.13 (без учета смещения по времени).

Рис. 2.13 Отклик фильтра с прямоугольной характеристикой на единичный импульс