3.5. Расчет цифровых фильтров на основе непрерывных фильтров с нулями на бесконечности

Большой класс аналоговых фильтров определяется системными функциями вида

(3.12)

где знаменатель представляет собой произведение. Та­кие фильтры имеют т полюсов при конечных значениях s и m-кратный нуль для бесконечного s. Эта категория включает в себя фильтры Баттерворта, Чебышева и Бесселя.

При расчете импульсно-инвариантных цифровых фильтров, основанных па (3.12), можно использовать процедуру, описанную в общих чертах в § 3.3. Функцию разлагают на элементарные дроби, находят и затем из соответствия (3.1) получают . В общем случае в появляются нули, несмотря на то, что в конечных нулей нет.

Однако, когда полюсы - близки к мнимой оси па плоскости s, так что близко к единице, нулями можно пренебречь, и тогда можно приближен­но представить в виде

(3.13)

На практике, применяя (3.13), успешно программирова­ли цифровые полосовые фильтры Бесселя, Баттерворта и Чебышева с полосой, составляющей несколько сотен герц, при частотах дискретизации 10000 Гц.

Пример. Фильтр нижних частот Баттерворта с тремя полюсами. Системной функцией непрерывного фильтра является

(3.14)

где

и есть частота среза, определяемая из условия . Разлагая (3.14) на элементарные дроби и применяя соответствие (3.1), приходим к z-преобразованию

(3.15)

На рис 3.1 дана структура цепи, интерпретирующий (3.15), там же приведены выражения для коэффициентов и .

Рис. 3.1 Цифровой фильтр нижних частот Баттерворта с тремя полюсами

Если необходима каскадная форма построения фильтра, то (3.15) можно переписать в виде

(3.16)

где

и

Очевидно, что имеет два нуля: один - при , другой – при . Второй нуль находится на действительной оси и возра­стает по мере увеличения , начиная от 0. Заметим, что знаменатель (3.16) можно записать исходя из расположении полюсов непрерывного фильтра, так как полюс на плоскости s непосредственно преобразуется с помощью соотношения в полюс на плоскости z.

Для малых значений нуль приблизительно совпадает с точкой -1, поэтому он оказывает влияние, хотя и малое, на ха­рактеристики полосы пропускания фильтра Баттерворта с тремя полюсами. На рис. 3.2 дан график зависимости величины от .Из графика видно, например, что при нуль перемещается в точку -0,94, что приведет при каскадной форме фильтра к никоторым малым искажениям в полосе пропускания.

Рис. 3.2 Изменение положения нуля у цифрового фильтра нижних частот Баттерворта с тремя полюсами.

3.6. Определение цифрового фильтра с помощью квадрата модуля передаточной функции

Фильтры Баттерворта и Чебышева задаются квадратами модулей передаточ­ных функций надлежащей формы. Аналогичная процедура для цифровых фильтров описывается в настоящем параграфе.

Допустим, что системная функция цифрового фильт­ра представляет собой рациональную функцию от­носительно .

Отсюда следует, что в том случае, когда значения z располагаются на единичной окружности, представ­ляет собой рациональную функцию относительно . Таким образом, квадрат модуля всегда может быть выражен с виде отношения двух тригонометриче­ских функций от .

Примерам квадрата модуля передаточной функции, пригодного для фильтрации нижних частот, является

(3.17)

На рис. 3.3 представлен график функции (3.17) для и нескольких значений n. Частота среза как в случае непрерывного, так и в случае цифрово­го фильтра играет одина­ковую роль.

Полагая , вы­ражение (3.17) можно за­писать в виде

(3.18)

Следовательно, (3.18) яв­ляется рационально функцией относительно z, имеющей при нуль порядка 2n. Полюсы на­ходятся путем подстанов­ки в (3.18)

(3.19)

откуда можно убедиться в том, что полюсов функции размещаются равномерно по окружности ради­уса в плоскости р.

Рис. 3.3 Частотные характеристики цифровых фильтров Баттерворта

Далее с помощью преобразования, обратного (3.19), а именно

(3.20)

легко находятся полюсы в плоскости z.

Полагая и , из (3.20) находим со­отношения для составляющих

(3.21)

Окружность, на которой располагаются полюсы в плоскости p, удовлетворяет уравнению

(3.22)

Из (3.21) и (3.22) можно показать, что эта окруж­ность отображается в окружность на плоскости z с ко­ординатами центра и радиусом :

(3.23)

Для нечетных значений n упомянутые 2n полюсов в p-плоскости имеют следующие координаты x и y:

(3.24)

Для четных значений n координатами являются

(3.25)

Из (3.24) и (3.25) можно рассчитать координатs соответствующих полюсов в плоскости z:

(3.26)

Заменяя на , получаем эквивалентные формулы для четных п.

Пример. Найти полюсы и нули квадрата модуля передаточной функции для фильтра нижних частот, имеющего затухание 3 дБ на частоте 1250 Гц и затухание по крайней мере 20 дБ на частоте 2000 Гц. Пусть частота дискретизации составляет 10000 Гц. Граничная частота 1250 Гц соответствует величине . Частота 2000 Гц соответствует значению .

Квадрат модуля передаточной функции (3.17) принимает вид

(3.27)

Соответствующее значение n в (3.27) составляет , оно получа­ется, если положить и , что соответствует условию затухания 20 дБ. Восемь полюсов в плоскости p находятся из (3.20) Теперь можно использовать выражения (3 40) для нахождения полюсов в плоскости z, показанных на рис. 3.4. На этом рисунке показано 2n нулей, расположенных в точке , которые непосредственно следуют из (3.18). Таким образом, квадрат модуля передаточной функции полностью определен в виде располо­жения полюсов и нулей в плоскости z.

В приложении к данной главе дан анализ необходи­мых зависимостей между заданным квадратом модуля передаточной функции и определяемым этой функцией цифровым фильтром. Показано, что для того чтобы обеспечить реализуемость квадрата модуля передаточ­ной функции, любому полюсу внутри единичной окруж­ности (например, на рис. 3.4) должен соответствовать другой полюс вне этой окружности, характеризующий­ся тем же углом и модулем, обратным по величине мо­дулю первого полюса.

Так, если , то должен существовать полюс (в данном случае это полюс ) вида . Кроме то­го, все полюсы должны состоять из комплексно-сопряженных пар. Следовательно, цифровой фильтр, соответствующий рис. 3.4, имеет сопряженные полюсы и .

Аргументация, приведенная выше, справедлива так­же и в отношении нулей, включая частный случай ну­лей на действительной оси. На рис. 3.4 все восемь пу­лей расположены в точке . Полученный фильтр имеет четыре нуля при .

Если квадрат модуля передаточной функции задает­ся уравнением

(3.28)

то можно показать, что полюсы для лежат на эллипсе в p-плоскости.

Рис. 3.4 Полюсы и нули цифровых фильтров Баттерворта

Используя рис. 3.4, можно записать выражения для составляющих в плоскости p:

(3.29)

Подставляя (3.29) в (3.21), получаем

(3.30)

На рис. 3.5 показано отображение в плоскости z для случая, когда , а .

Рис. 3.5 Отображение фильтра Чебышева в z-плоскость

Внешняя окружность на рис. 3.8 отображается в окружность бесконечного радиуса, показанную на рис. 3.5 в виде прямой линии. Точки, указанные на отображенном эллипсе (рис. 3.5), соответствуют точ­кам, вычисленным согласно (3.30).