3.7. Расчет цифровых фильтров путем билинейного преобразования функции непрерывного фильтра

В предыдущем параграфе было показано, каким об­разом могут быть найдены полюсы и нули цифрового фильтра с соответствующим квадратом модуля переда­точной функции. Описанные методы полностью подобны математическим методам расчета аналоговых фильтров, которые достигли высокой степени совершенства. Для многих задач проектирования цифровых фильтров под­становка (3.19) преобразует задачу расчета цифрового фильтра в задачу, которая, по существу, идентична некоторой уже решенной задаче расчета аналогового фильтра. Например, задача нахождения положения по­люсов (3.18) и (3.28) с помощью (3.19) преобразуется в уже решенные задачи нахождения положения полю­сов аналоговых фильтров Баттерворта и Чебышева. Это приводит к другому способу проектирования цифровых фильтров, при котором расчет производится непосредст­венно па s-плоскости.

Предположим, что имеется стабильный аналоговый фильтр, описываемый с помощью . Его частотная характеристика находится путем вычисления в точках на мнимой оси плоскости s. Если в функции заменить s рациональной функцией от z, которая отображает мнимую ось в s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости, то полученная в результате функция , вычисленная вдоль единичной окружно­сти, примет те же значения, что и функция при вычислении вдоль мнимой оси.

Это не означает, что данные функции одинаковы, так как частотные шкалы искажены одна относительно дру­гой. Сказанное легко проиллюстрировать с помощью простейшей рациональной функции, которая отобра­жает ось на единичную окружность,

(3.31)

Обозначим аналоговую текущую частоту через , а цифровую текущую частоту - через . Тогда при

(3.32)

функции и принимают одни и те же значения.

Заметим, что преобразование (3.31) приводит к от­ношению полиномов от z. Поскольку оно отображает левую полуплоскость s на внутреннюю часть единично­го круга, то можно быть уверенным в том, что это пре­образование во всех случаях будет давать , соот­ветствующие реализуемым стабильным цифровым филь­трам.

Выражения (3.31) и (3.32) приводят к расчету циф­ровых фильтров с помощью аналоговых методов. Про­цедура расчета заключается в следующем:

1. Задают критические частоты и диапазоны (полосу пропускания или непропускания, точку максимального за­тухания и т. д.) требуемого цифрового фильтра и обоз­начают их через . Вычисляют новый набор частот с помощью соотношения

(3.33)

2. Рассчитывают передаточную функцию , имею­щую на новых частотах и диапазонах свойства цифро­вого фильтра. Ясно, что в синтезе нет необходи­мости.

3. Заменяют величину s в функции на и выполняют алгебраические действия, необ­ходимые для того, чтобы выразить, полученную функ­цию в виде отношения полиномов; это приводит к требуемому цифровому фильтру.

Этот метод иллюстрируется следующими примерами.

Пример 1. Рассчитать цифровой фильтр, имеющий частоту дискретизации 10 кГц, плоскую частотную характеристику в пределах 3дБ в полосе пропускания от 0 до 1000 Гц и затухание более 10 дБ на частотах выше 2000 Гц. Характеристика фильтра в полосе пропускания и полосе непропускания должна быть монотонной.

Из рис. 3.6 мы видим, что в аналоговой области указанным требованиям удовлетворяет фильтр Баттерворта. Критическими частотами являются

и

1) Вычисляем :

2) Рассчитываем фильтр Баттерворта с затуханием 3 дБ на частоте . Отношение . Для того чтобы найти порядок n, решаем уравнение и получаем . Фильтр Баттерворта второго порядка с частотой имеет полюсы в точках и не имеет нулей. Следовательно,

3) Заменяем s на , что дает

Это и есть требуемый цифровой фильтр. В нем предусматривается выполнение трех операций умножения для вычисления каждого выходного отсчета сигнала или, если можно пренебречь усилением на постоянном токе, только две операции умножения.

Пример 2. Рассчитать цифровой фильтр, имеющий полосу пропускания от 0 до 100 Гц при колебаниях характеристики 0,5 дБ, ко­торая затем монотонно спадает, по крайней мере, до -19 дБ на ча­стотах 183 Гц. Частота дискретизации равняется 1000 Гц.

1) Критические частоты 100 и 183 Гц преобразуем в аналоговые частоты:

2) Рассчитываем далее аналоговый фильтр из класса фильтров Чебышева. Колебаниям 0,5 дБ соответствует величина Чтобы найти требуемый порядок фильтра, решаем уравнение . Наименьшее n, удовлетворяющее этому соотношению, равно трем. Фильтр Чебышева с единичной полосой при колебаниях характеристики 0,5 дБ определяется соотношением

Заменяя s на , получаем

где постоянная в числителе подбирается таким образом, чтобы при коэффициент передачи равнялся единице.

3) Заменяем s на . что дает после умножения числителя и знаменателя на для требуемого цифрового фильтра

Это соотношение определяет вид требуемого цифрового фильтра.

Стоит указать на полезную геометрическую интер­претацию третьего пункта методики расчета. Замена s на представляет собой отображение точек плоскости s на плоскость z. В приводимой ниже табли­це даются соответствия для некоторых критических точек в плоскостях s и z.

Сходное с этим отображение оказалось полезным в ряде приложений. Для его выполнений может быть использована номограмма, которая известна под назва­нием диаграммы Смита (рис. 3.6).

Положение любой точки в плоскости s (в ее левой половине) используется для нахождения соответ­ствующего положения точки в плоскости z следующим образом:

1) Отмечается a - точка на центральной линии. Все точки на окружности, проходящей через эту точку, соответствуют точкам плоскости s, имеющим действительную часть, равную .

Плоскость s	Плоскость z
Точка на действительной оси Точка на мнимой оси Точка на любой прямой	Точка на действительной оси Точка на единичной окружности Точка окружности, проходящей через

2) Отмечается b - точка па периметре внешней окружности. Для b>0 используется верхняя полуокруж­ность, для b<0 - нижняя полуокружность. Дуга, прохо­дящая через отмеченную точку, соответствует точкам плоскости s, имеющим мнимую часть b.

3) Точка пересечения окружности, соответствующей значению а, с дугой, соответствующей значению b, пред­ставляет собой точку в плоскости z, соответствующую в плоскости s.

Диаграмма Смита полезна в том случае, когда функ­ция в плоскости s задана с помощью полюсов и нулей или полюсов и вычетов, и особенно в том случае, если именно в такой форме желательно иметь представление в плоскости z.

Пример. Рассчитать цифровой фильтр верхних частот с затуха­нием в полосе непропускания (0—500 Гц) более 36 дБ и с пульсациями характеристики в полосе пропускания (выше 660 Гц) 1,25 дБ. Частота дискретизации 2,5 кГц.

1) Критические частоты, пересчитанные применительно к аналоговому фильтру, дают границу полосы непропускания 0,72654 рад/сек и границу полосы пропускания 1,09 рад/сек.

2) Этим требованиям удовлетворяет эллиптический фильтр четвертого порядка. Здесь приводятся только результаты. Полюсы будут в точках и , а нули – в точках (двойной) и .

Рис. 3.6 Диаграмма Смита

Положение этих точек указано на диаграмме Смита (рис 3.6) крестиками (полюсы) и кружочками (нули).

С помощью линейки и транспортира находим, что нули в плоскости z оказываются в точках (двойной) и , а полюсы - в точках и . Таким образом, функция , определяющая фильтр, имеет следующий вид:

Основная трудность, связанная с применением метода диаграммы Смита, проиллюстрированная примером, заключается в том, что положение полюсов нельзя опре­делить с высокой точностью. В порядке компенсации этот метод дает возможность лучше объяснять работу цифрового фильтра при изложении основ проектирова­ния этих фильтров. Если требуется более высокая точ­ность, то полюсы в плоскости z могут быть рассчитаны, исходя из положения полюсов в плоскости s, с помощью соотношения .

Используемая в преобразовании функция не является единственной рациональной функ­цией z, отображающей мнимую ось плоскости s на еди­ничную окружность. Другим преобразованием такого же типа, например, является

(3.34)

При этом преобразовании мнимая ось в плоскости s отображается одновременно на верхнюю и на нижнюю части дуги единичной окружности. Начало координат в плоскости s отображается на две точки .

Таким образом, (3.34) преобразует функцию частоты в , где

(3.35)

Это означает, что (3.34) преобразует функцию аналого­вого фильтра нижних частот в функцию цифро­вого полосового фильтра . Соотношение (3.34) можно, таким образом, использовать при расчете поло­совых цифровых фильтров, который производится в сле­дующем порядке:

1) Выбирается центральная частота для цифро­вого фильтра^*). Это необходимо для формулировки заданных условий и для облегчения выбора других параметров. Исходя из значений критических частот, опре­деляемых условиями, которые предъявляются к цифро­вому фильтру, с помощью (3.35) вычисляются крити­ческие частоты требуемого аналогового фильтра. Соотношение (3.35) часто дает отрицательные частоты, что вполне допустимо, поскольку должна быть четной функцией .

2) Рассчитывается аналоговый фильтр , соответ­ствующий заданным условиям, пересчитанным к анало­говому фильтру. По-видимому, одно или несколько условий окажутся лишними.

3) Производится замена s в согласно соотно­шению

и выполняются необходимые алгебраические действия, в результате которых преобразуется в отношение полиномов, которое выражает требуемый фильтр.

Одного примера будет достаточно для иллюстрации данного метода.

Пример. Рассчитать полосовой фильтр с частотой дискретизации 1000 Гц, имеющий характеристику и полосе пропускания от 100 до 400 Гц без пульсаций при затухании от 0 до 3 дБ. На ча­стотах 450 и 45 Гц затухание должно быть не менее 20 дБ, а вне этих частот должен быть монотонный спад.

1) Величину можно выбрать так, что две точки характеристики аналогового фильтра для уровня 3 дБ будут соответствовать расстройкам, одинаковым по величине и противоположным по знаку. Если трехдецибельные точки цифрового фильтра есть и , то из (3.35) видно, что должно быть выбрано таким образом, чтобы

(3.36)

Из (3.36) получаем, что в данном случае . Это означает, что преобразование критических частот цифрового фильтра в критические частоты аналогового фильтра в критические частоты аналогового фильтра принимает вид.

Теперь трехдецибельные точки преобразуются следующим образом:

Точки, соответствующие уровню 20 дБ, не одинаковы по величине и равны

2) Далее рассчитывается монотонный фильтр с затуханием 0-3 дБ в области . Затухание более 20 дБ должно быть на частоте , что автоматически обеспечивает выполнение требований . В данном случае, по-видимому, подойдет фильтр типа Баттерворта с частотой среза . Для отношения требуется затухание 20 дБ. Порядок n вычисляем из соотношения

Ясно, что вполне достаточно взять . Фильтр Баттерворта третье­го порядка с единичной полосой определяется функцией

Произведя замену на , находим

3) Чтобы определить требуемый цифровой фильтр, положим в выражении для . Отметим, что поскольку это приводит к функции от , то рассчитанный цифровой фильтр будет довольно простым:

Если усиление фильтра не имеет значения, та его можно запрограммировать с помощью трех операций умножения на каждый выходной отсчет и небольшого числа операций сложения.

Рассмотренные в этом параграфе методы могут так­же применяться при проектировании фильтров верхних частот и режекторных фильтров.