2.8. Теорема о комплексной свертке

В параграфе 2.7 было показано, что произведение двух z-преобразований соответствует свертке последовательностей. В этом параграфе мы рассмотрим z-преобразование произведения двух последовательностей. Пусть

(2.13)

и есть z-преобразование от , а есть z-преобразование от . Следовательно,

(2.14)

В соответствии с параграфом 2.6 выберем контур интегрирования в виде единичной окружности. Тогда будем иметь

Поменяв местами операции интегрирования и суммирования и рассматривая результирующее суммирование как z-преобразование, приходим к выражению

(2.15)

Равенство (2.15) иногда называется теоремой о комплексной свертке. То, что оно в самом деле имеет форму свертки, можно продемонстрировать, если использовать условие, что контур интегрирования есть единичная окружность, и сделать подстановки

В результате получаем

(2.16)

Интересным является частный случай выражения (2.15), когда и . Используя (2.13) и (2.14), мы придем к выражению

(2.17)

которое позволяет выразить среднеквадратическое, зна­чение сигнала через его z-преобразование. Эти соотно­шения, как мы увидим в гл. 4, используются при изу­чении шума. Внимательный читатель может заметить, что если имеет полюса внутри единичной окружности, то имеет полюса вне единичной окружности, так что вопрос об интегрировании должен быть тщательно исследован. Поскольку этот вопрос тесно соприкасается с проблемой двустороннего z-преобразования, то мы не­сколько отложим дальнейшее его обсуждение.

2.9. Решение разностных уравнений первого порядка с помощью z-преобразования

Возвращаясь теперь к уравнению первого порядка (2.1), применим для его решения z-преобразование. Умножая обе части (2.1) на и суммируя в пределах от нуля до бесконечности, получаем

(2.18)

Используя определение z-преобразования (2.7) и под­становку в первом члене правой части (2.18), получим

(2.19)

или

(2.20)

С помощью обратной теоремы (2.9) можно теперь найти явное решение для при условии, что предвари­тельно было найдено для заданной входной последова­тельности выражение для в замкнутой форме.

Например, если , то из табл. 2.1 имеем и

(2.21)

где полагаем, что кривая интегрирования представляет собой окружность с радиусом, большим единицы на про­извольную малую величину.

Результатом интегрирования (2.21) является

(2.22)

Для первый и третий члены выражения (2.22) убывают по экспоненциальному закону с увеличением n. Средний член соответствует установившемуся значению отклика системы на экспоненциальный входной сигнал и имеет вид, идентичный решению (2.4).