4.4. Ошибки, вызываемые квантованием произведений

Теперь мы подходим к наиболее сложному проявле­нию ошибок квантования, а именно к ошибкам, вызы­ваемым округлением результатов вычислений при вы­полнении реальной программы цифрового фильтра. Так как эти ошибки появляются при выполнении каждой итерации разностного уравнения, то эффект заключает­ся в наложении на сигнал последовательности шумовых отсчетов; в этом смысле эффект подобен шуму, обуслов­ленному аналого-цифровым преобразованием. Однако точное место, в котором шум вводится в цифровой фильтр, зависит от конкретного выполнения программы.

На рис. 4.3 показано, каким образом шум квантова­ния, вызываемый выполнением операций умножения, вводится в случае прямой формы реализации системы с четырьмя полюсами и нулями (как отмечалось в § 4.2, систему четвертого порядка в прямой форме реализовывать нецелесообразно). С каждой операцией умножения связаны шумы от е₀(пТ) до е₈(пТ). Для этой реализации ясно, что все шумы взаимно аддитивны и поэтому могут быть заменены одним общим шумом:

как это показано на рис. 4.4. Если допустить, что все шумы на рис. 4.3 некоррелированы, то дисперсия обще­го шума е(пТ) в девять раз больше дисперсии каждо­го малого шума или равна . Следует однако отметить, что имеется в виду определенный тип программе, а именно программа, по которой младшие значащие двоичные разряды отбрасываются после каждого умно­жения.

Рис. 4.3. Шумовая модель для прямой формы цепи

Рис. 4.4. Эквивалентная шумовая модель для прямой формы цепи

Если накапливающаяся сумма хранится в несколько большем (на 3 или 4 разряда) регистре, то дис­персия е(пТ) может быть уменьшена до . С прак­тической точки зрения сохранение дополнительных раз­рядов может привести к заметному увеличению времени выполнения программы. Однако с помощью специали­зированного аппаратурного блока при небольших допол­нительных затратах или вообще без них можно добить­ся заметного уменьшения шума.

Важной особенностью рис. 4.3 является то, что он от­ражает прохождение шума через фильтр; ясно, что этот шум, в отличие от шума аналого-цифрового преоб­разования, проходит только через полюсы фильтра. Та­ким образом, усиление шума при прохождении через - фильтр будет, в общем случае, существенно отличаться от усиления сигнала.

На рис. 4.5 показана цифровая цепь, имеющая то же z-преобразование, что и цепи рис. 4.3 и 4.4, но реа­лизованная в канонической форме. Из него видно, что шум вводится в систему несколько иначе, чем при пря­мой форме реализации. На рис. 4.6 показана эквива­лентная цепь, где

и

Ясно, что е_А(пТ) с дисперсией Е₀²/3 проходит через всю цепь (как полюсы, так и нули), в то время как е_В(пТ) представляет собой просто шум, добавляемый на выходе. Как можно сравнить прямую и каноническую реали­зации на основе рис. 4.3—4.6? В фильтрах нижних ча­стот и полосовых фильтрах эффект, вызванный нулями в полосе пропускания, заключается в уменьшении шума, в то время как полюсы в полосе пропускания увеличи­вают его. Поэтому кажется, что прямая форма реали­зации вводит в этих случаях больше шума, чем канони­ческая, так как в первом случае шум проходит только через полюсы с большим усилением, а во втором слу­чае - через полюсы и нули с малым усилением. Однако ответ не так прост, поскольку наличие нулей с малым усилением при прямой реализации означает, что уровни сигналов, проходящих через полюсы, будут меньше. Так как наша основная задача при проектировании — умень­шить длину регистра, то необходимо обращать внима­ние не только на величину шума, но и на уровни сиг­налов.

Рис. 4.5. Шумовая модель для канонической формы цепи

На рис. 4.7 и 4.8 показаны каскадные реализации системы четвертого порядка. Схема рис. 4.7 составлена из двух прямых реализаций второго порядка. Шумы, соответствующие ошибкам при умножениях, вводятся, как и раньше. Схема рис. 4.8 является последовательным соединением двух канонических фильтров второго порядка; на этой схеме шумы показаны как комбини­рованный эффект операций умножения. Отметим, что за исключением начала и конца, цепь из резонаторов, соединенных в схему прямого или канонического типа, образует идентичную структуру.

Рис. 4.6. Эквивалентная шумовая модель для канонической формы цепи

Рис. 4.7. Шумовая модель для каскадной или последовательной формы цепи

Рис. 4.8. Эквивалентная шумовая модель для последовательной формы цепи