3.8. Фильтры на основе частотной выборки

Прежде чем перейти к обсуждению следующего типа фильтров, напомним, что имеется еще одни способ аппроксимации произвольных функций - с помощью функ­ций отсчетов^*). Так функция может быть аппроксимирована во временной области с помощью выраже­ния

(3.37)

Кроме того, известно, что точно равна , если последняя ограничена в полосе частот . Даже если полоса частот функции не ограничена, то точ­но совпадает с в моменты взятия отсчетов .

Интересно выяснить, может ли теорема отсчетов в частотной области служить в качестве полезной осно­вы для расчета фильтров. Во-первых, необходимо пока­зать, что можно создать элементарный фильтр с харак­теристикой (как функцией частоты), имеющей вид, подобный одной из интерполирующих функций из выра­жения (3.37), а также с надлежащей фазой так, чтобы выходные сигналы нескольких элементарных фильтров можно было складывать как скалярные величины. Затем необходимо удостовериться, что сумма конечного числа членов выражения, подобного (3.37), в частотной области может дать характеристику фильтра с достаточной избирательностью.

Рис. 3.7 Иллюстрация теоремы отсчетов в частотной области

Для примера на рис. 3.7 показана требуемая и три интерполирующие функции, используемые для ап­проксимации .

Рассмотрим теперь схему фильтра, изображенную на рис. 3.8. Амплитуда и фаза для него опреде­ляются выражениями

Эти функции показаны па рис. 3.9 и, как видно, имеют свойства фильтра нижних частот с линейной фазой. Такой подход можно теперь распространить на схему рис. 3.10.

Амплитуды и фазы на выходах каждого резонатора при отсутствии потерь показаны на рис. 3.11.

Рис. 3.8 Аналоговый гребенчатый фильтр с компенсацией нуля на постоянном токе

На пятой сверху горизонтальной оси знаками и обозначены случаи, когда выходные сигналы нахо­дятся точно в фазе или в противофазе. Сигналы находятся в противофазе только в интервалах пере­крытия главных лепестков. Поэтому при вычитании двух выходных сигналов, как видно из рис. 3.11, амплитуды могут нужным образом складываться в интервалах перекрытия и вычи­таться вне их. Это дает возможность получить сложную амплитудную характеристику , которая достаточно постоянна в полосе перекрытия и имеет уменьшенные боковые лепестки. Помимо этого, так как фазы и — линейные, то выходная фаза должна быть также линейной функцией частоты. Распространяя все эти рассуждения на случай n резонаторов без по­терь, мы может достигнуть того же эффекта, что и при правильном сложении функций интерполяции вила, показанного на рис. 3.7.

Таким образом, можно задать произвольный полосовой фильтр с линейной фазой во всем диапазоне частот при помощи дискретизации тре­буемой амплитудно-частотной характеристики на выбранных равномерно расположенных частотах.

Практическим недостатком этого метола для проек­тирования аналоговых фильтров является то, что он пред­полагает применение резонаторов без потерь. В значи­тельной степени это затруднение преодолевается при проектировании цифровых фильтров.

Рис. 3.9 Частотная характеристика фильтра, показанного на рис. 3.8

Рис. 3.10 Аналоговый гребенчатый фильтр с нулями, скомпенсированными несколькими резонаторами

Рис. 3.11 Амплитудные и фазовые функции для рис. 3.10