- •Оглавление
- •1. Общие вопросы цифровой обработки сигналгов
- •1.1. Основные расчетные алгоритмы для цифровых фильтров
- •2. Дискретные линейные системы
- •2.1. Модель дискретной линейной системы
- •2.2. Линейное разностное уравнение первого порядка
- •2.3. Частотная характеристика цепи первого порядка
- •2.4. Геометрическая интерпретация частотной характеристики
- •2.6. Обратное z-преобразование
- •2.7. Теорема о свертке
- •2.8. Теорема о комплексной свертке
- •2.9. Решение разностных уравнений первого порядка с помощью z-преобразования
- •2.10. Решение разностных уравнений второго порядка с помощью z-преобразования
- •2.11. Двустороннее z-преобразование
- •2.12. Цепи для разностного уравнения второго порядка
- •3. Расчет цифровых фильтров в частотной области
- •3.1. Синтез цифровых фильтров
- •3.2. Различные методы расчета цифровых фильтров
- •3.3. Применение принципа инвариантности импульсной характеристики
- •3.4. Коэффициент передачи цифровых резонаторов
- •3.5. Расчет цифровых фильтров на основе непрерывных фильтров с нулями на бесконечности
- •3.6. Определение цифрового фильтра с помощью квадрата модуля передаточной функции
- •3.7. Расчет цифровых фильтров путем билинейного преобразования функции непрерывного фильтра
- •3.8. Фильтры на основе частотной выборки
- •3.9 Метод частотной выборки
- •4. Эффекты квантования в цифровых фильтрах
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Ошибки, вызываемые неточными значениями постоянных параметров
- •4.3. Ошибки, вызываемые аналого-цифровым преобразованием
- •4.4. Ошибки, вызываемые квантованием произведений
- •4.5. Эффект мертвой зоны
- •4.6. Формулы для шума округления при различных реализациях цифровых цепей
- •4.7. Пример. Различные структуры цепи с двумя полюсами и одним нулем
- •5. Дискретные преобразования фурье
- •5.1. Дискретное преобразование Фурье
- •5.2. Алгоритм Герцеля
- •5.3. Быстрое преобразование Фурье
- •Прореживание по времени
- •Прореживание по частоте
- •5.4. Соотношение между прореживанием по времени и прореживанием по частоте
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.6. Обратное z-преобразование
По определению, есть обратное z-преобразование от . Оно может быть найдено из (2.7) с помощью интегральной теоремы Коши. Сначала умножим обе части (2.7) на , а затем произведем интегрирование по замкнутому контуру обеих частей равенства. Если контур интегрирования лежит внутри областей сходимости бесконечного ряда (2.7), то операции суммирования и интегрирования можно поменять местами, что даст
(2.8)
Теорема Коши гласит, что если контур интегрирования охватывает начало координат, то для всех k, за исключением . Для интеграл становятся равным . Применяя это к выражению (2.8). получаем теорему об обратном z-преобразовании:
(2.9)
Пусть . Тогда . Для подтверждений того факта, что есть обратное z-преобразование от , применим (2.9), выполняя интегрирование вдоль окружности радиуса, большего, чем К. Это дает:
(2.10)
Уравнение (2.10) решается с помощью теоремы о вычетах, дающей , если контур интегрирования охватывает полюс при . Таким образом, подходящим контуром является окружность радиусом , показанная на рис. 2.7, где может быть взято как угодно малым. Однако в этом случае может быть также использован контур или любой другой контур, охватывающий полюс.
Если , то согласно изложенному в § 2.5 область сходимости лежит вне единичной окружности на комплексной z-плоскости. В большинстве случаев, последовательность не представляет физического интереса при , поскольку такая последовательность бесконечно растет с ростом n и может быть классифицирована как неустойчивая.
Рис. 2.7 Возможные контуры интегрирования для обратного z-преобразования
Таким образом, единичная окружность будет наименьшей окружностью на z-плоскости из тех, что находится внутри области сходимости для всех устойчивых последовательностей вида . Эго свойство единичной окружности может быть распространено на все другие устойчивые последовательности, и этим объясняется широкое применение единичной окружности как контура интегрирования для обратного z-преобразования.
2.7. Теорема о свертке
Пусть есть z-преобразование от , а есть z-преобразование oт . Тогда покажем, что если есть z-преобразование от , то
(2.11)
Простой путь доказательства этого соотношения заключается в применении метода индукции при исследовании произведения
(2.12)
Читатель может доказать, что (2.11) справедливо, приравняв в (2.12) коэффициенты при степенях .
Теорема о свертке, как и в аналоговом случае, может быть принята как определяющее уравнение для линейных дискретных систем. Рис. 2.8 иллюстрирует вычисление по формуле (2.11). Пунктирная кривая представляет , а непрерывная кривая представляет .
Рис. 2.8 Иллюстрация свертки [xxx обозначают точки на кривой ]
Сумма всех почленных произведений двух последовательностей от до есть сверточная сумма, определяемая выражением (2.11).
Если представляет собой отклик линейной дискретной цепи на единичный импульс (первая строка в табл. 2.1), то (2.11) определяет отклик этой цепи на произвольный входной сигнал .