4.6. Формулы для шума округления при различных реализациях цифровых цепей

Если предположить, что отсчеты шума некоррелированы, то общая теория шума из-за аналого-цифрового преобразования, разработанная в § 4.3 может быть непо­средственно применена для шумов округления. Действи­тельно, единственное различие между шумом округле­ния и шумом аналого-цифрового преобразования яв­ляется топологическим; шум аналого-цифрового преоб­разования поступает на вход фильтра, в то время как шум округления может поступать в другие точки систе­мы. Основные формулы (4.9) и (4.11) можно непосред­ственно применять при условии, что используется пере­даточная функция, которая дает правильную связь меж­ду источниками шума и результирующим шумом на выходе, вызываемым этими источниками. Например, для рис. 4.3 запишем эту функцию в виде

(4.17)

Ясно, что R (z) определяет нули Н(Z), вызываемые че­тырьмя задержками в прямой цепи, а Р(z) определяет полюсы Н(z), вызываемые четырьмя задержками в цепи обратной связи. Анализ рис. 4.3 и 4.4 показывает, что на шум не может влиять член R(z). Таким образом, пе­редаточная функция относительно источника шума е(пТ) на рис. 4.4 и последующий выходной шум в установив­шемся режиме определяются выражением

(4.18)

где предполагается, что дисперсия источника шума, вы­званная каждым шумовым генератором, равна Е₀ ²/12, и что имеется т таких генераторов шума. На рис. 4.6 шум е_А(пТ) проходит через полюсы и нули, т. е. через весь фильтр, так что дисперсия выход­ного шума, обусловленная е_А(пТ), становится равной

(4.19)

В этом случае шум округления проходит через тот же самый фильтр, что и шум, вызываемый аналого-циф­ровым преобразованием, и является таким образом аддитивным по отношению к входному сигналу. Общий шум получается путем сложения дисперсии e_B(пТ) и .

Для каскадной формы, показанной на рис. 4.7, запи­шем Н(z) в виде

(4.20)

где и относятся « нулям и полюсам первого резонатора, а и - к нулям и полюсам вто­рого резонатора. Если каждый шум имеет дисперсию Е₀ ²/12, то результирующая дисперсия на выходе равна

(4.21)

Для формы, показанной на рис. 4.8, результат равен

(4.22)

4.7. Пример. Различные структуры цепи с двумя полюсами и одним нулем

Уравнения (4.28) —(4.31) по меньшей мере означают, что влияние шума округления меняется в зависимости от выбранной структуры, хотя все структуры имеют одну и ту же общую передаточную функцию. Попытаем­ся теперь несколько разобраться в проблеме выбора структуры, которая минимизирует вредное влияние это­го шума. Для этого, имея заданную- передаточную функ­цию Н(z), требуется произвести вычисления по форму­лам вида (4.28) — (4.31), что оказывается обычно трудо­ёмким процессом. Однако некоторый, опыт работы с цифровыми цепями позволяет прийти к вполне прием­лемому решению о наиболее подходящей структуре цепи. Рассмотрим довольно простой пример, который иллюстрирует некоторые из основных положений.

Передаточная функция

(4.23)

( и — действительные полюсы системы, расположен­ные внутри единичной окружности) может быть реали­зована различными путями, часть из которых представ­лена на рис. 4.9.

Мы видим, что рис. 4.9,а и 4.9,6 отличаются лишь тем, что коэффициенты умножения A₁ и A₂ используются либо позже, либо раньше выполнения двух парал­лельных итераций первого порядка.

Рис. 4.9. Шумовые модели для различных форм одной и той же цепи

На этих рисунках каждая стрелка без надписи обозначает ввод источника шума с дисперсией Е₀ ²/12. Выходной шум в установив­шемся режиме легко вычисляется с помощью (4.13). Для рис. 4,9,а

(4.24)

для рис. 4.9,б

(4.25)

Таким образом, желание провести операции умножения на A₁ и A₂ раньше или позже выполнения итерации за­висит всецело от значений A₁ и A₂. Если они намного больше единицы, то цепь рис. 4.9,б создает меньший шум, если же значения A₁ и А₂ намного меньше едини­цы, то. меньший шум создает цепь рис. 4.9,а. Отметим, что шум аналого-цифрового преобразования не зависит от местоположения A₁ и A₂ таким образом, (4.33) и (4.34) дают нам все, что нужно знать об относительных шумах.

Структуры цепей, изображенных на рис. 4.9,в и г, несколько сложнее для анализа. Рассматривая вначале рис. 4.9,в, видим, что шумы трех источников проходят через цепь с передаточной функцией

(4.26)

Таким образом,

(4.27)

или после вычисления интеграла

(4.28)

где является дисперсией выходного шума, вызываемого тремя из четырех источников шума, показанных на рис. 4.9,в, и поэтому меньше общего шума этой цепи. Полезно сравнить (4.34) и (4.37). Отношение диспер­сий равно

(4.29)

Если полюсы и расположены близко к единичной окружности (что справедливо во многих практических случаях), то, как это видно из (4.38), меньше . Таким образом, параллельная структура цепи (рис. 4.9,б) предпочтительней прямой (рис. 4.9,в). Сохраняется ли эта ситуация, если множитель 1/(А₁+А₂) и нуль на рис. 4.9,в передвинуть к правой части итерации второго порядка, зависит от численных значений А₁, А₂, и .