4.3. Ошибки, вызываемые аналого-цифровым преобразованием

Как показано в § 4.1, ошибки, вызываемые квантова­нием (будем полагать, что в этом и последующих параграфах рас­сматривается квантование типа округления) аналогового входного сигнала перед его поступ­лением в вычислительную машину, можно аппроксими­ровать независимыми отсчетами случайных переменных, имеющими плотность вероятности в соответствии с рис. 4.2 и дисперсию, определяемую уравнением (4.2), Если пренебречь всеми остальными ошибками, то мож­но вычислить дисперсию выходного сигнала y(пТ) с помощью теории шума для линейных систем. Так как сигнал и шум независимы, то можно приступить к вы­числению шумов, не обращая внимания на сигнал. Пусть фильтр определяется передаточной функцией Н(z) и ве­совой функцией h(пТ). Тогда выходной сигнал f(пТ), если входной сигнал состоит из отсчетов шума е(пТ), можно выразить сверточной суммой (см. § 2.7):

(4.8)

Допустим, Что входной шум е(пТ) начинается при n = 0, а до этого был равен нулю; предположим также, что выходной сигнал f(пТ) был равен нулю до появле­ния сигнала на входе. Уравнение (4.8) определяет ли­нейные дискретные системы, оно особенно полезно, когда используется линейная теория шума.

Чтобы найти дисперсию f(пТ), вспомним наше допу­щение из § 4.1 о том, что каждый отсчет шума в (4.8) некоррелирован и имеет дисперсию . Таким обра­зом, в любой момент времени пТ дисперсия f(пТ) есть просто сумма дисперсий каждого члена в (4.8). Поэтому дисперсия любого заданного члена есть . Таким образом, общая дисперсия равна

(4.9)

Заметим, что в (4.9) в некотором смысле зависит от времени, поскольку она является функцией числа ите­раций п. Так как h²(пТ) должен быть положительным, то должна увеличиваться с ростом n, начиная с некоторой начальной минимальной величины. Это допусти­мо, так как на выходе не будет большой величины дис­персии сразу же после появления шума на входе. В дей­ствительности дисперсия на выходе нарастает и дости­гает почти такой же асимптоты, какую создает сигнал в виде скачка при воздействии на линейную дискретную систему. Установившееся состояние наступает всегда, если только полюсы фильтра не лежат точно на единич­ной окружности. В предположении, что установившееся состояние наступило, другими словами, что правая половина (4.9) достигла с увеличением п конечной асимптоты, можно вывести из (4.9) другую формулу, из которой обычно легче получить численные результаты. Воспользовав­шись определением z-преобразования в соответствии с (2.7) и учитывая, что Н(z) и h(пТ) являются парой преобразования, можно записать

(4.10)

Теперь умножим обе части равенства (4.10) на и выполним интегрирование вдоль замкнутого контура. Для того чтобы имелась возможность в (4.10) заменить интегрирование суммированием, необходимо, чтобы контур интегрирования проходил в области схо­димости не только Н(z), но и Н(1/z). Исходя из пред­посылок § 2.8, можно удостовериться, что единичная окружность является подходящим контуром интегриро­вания для стабильных фильтров. Если правая часть (4.10) интегрируется почленно, то согласно интегральной теореме Коши все члены дадут нуль, за исключени­ем члена при т = l. В результате получим

(4.11)

Сравнивая (4.9) и (4.11), видим, что правая часть (4.11) приводит к новой формуле для вычисления дис­персии выходного шума в установившемся режиме, т. е. при . Это выражение часто легче применять для отыскания дисперсии (исключение составляют некото­рые специфические фильтры), так как вычисление интег­рала для линейных дискретных цепей всегда возможно с помощью теоремы Коши о вычетах.

Читатель может заметить, что выражение (4.11) было уже получено в § 2.8 с помощью теоремы о комплексной свертке.