1. Общие вопросы цифровой обработки сигналгов

1.1. Основные расчетные алгоритмы для цифровых фильтров

В настоящее время большое значение придается цифровой фильтрации и дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), двум основным расчетным алгоритмам обработки сигналов. Это не означает, однако, что они являются единственными алгоритмами, представляющи­ми интерес: например, в гл. 5 упоминается несколько нелинейных процессов, а в гл. 8 большое внимание уде­ляется логарифмированию. Для иллюстрации практиче­ских инженерных проблем, возникающих при проектиро­вании системы цифровой обработки сигналов, в этом раз­деле мы ограничимся примерами фильтрации и ДПФ.

Предположим, что заданный цифровой фильтр определяется характеристиками, описывающими его в частотной области, и нам нужно написать программу или спроектировать специализированную цифровую логическую схему для решения требуемого расчетного алгоритма. Во-первых, должно быть понято, что существует много возможных алгоритмов, приводящих к теоретически идентичным фильтрам^*). Здесь следует различать три больших класса таких алгоритмов, к которым мы отно­сим (1) свертку, (2) рекурсию^**) и (3) преобразование Фурье. В зависимости от конкретных особенностей филь­тра наиболее желательной может быть одна из этих трех реализаций. Теперь определим в несколько эвристиче­ских выражениях характер этих алгоритмов.

Рассмотрим сигнал . Для простоты рассмотре­ния ограничим условием, что он равен нулю при , так что сигнал состоит из последовательности чи­сел и т. д. Постоянная T является ин­тервалом дискретизации, поэтому при таком обозначении неявно подразумевается, что может быть получено путем взятия отсчетов у непрерывного сигнала через равные промежутки времени Т, т. е. в моменты времени 0, Т, 2Т и т. д. При работе в реальном масштабе време­ни и для удобства в системах моделирования, которые, в конечном счете, также должны работать в реальном масштабе времени, в формулировку сигнала желательно ввести Т в явной форме. При сглаживании данных, когда физическое время несущественно (например, двумерная пространственная фильтрация фотоснимков), T может быть принято равным единице, так чтобы сигнал являл­ся функцией только номера отсчета.

Линейный цифровой фильтр теперь можно определить с помощью принципа суперпозиции следующим образом:

(1.1)

Численно выходная последовательность представ­ляет собой взвешенную сумму всех предыдущих значений входной последовательности. Веса определяют фильтр. Как можно видеть из (1.1), если на входе в ча­стном случае действует последовательность 1, 0, 0, 0, ..., то выходная последовательность будет точно равна . В этой книге нас будут интересовать только устой­чивые цифровые фильтры; следовательно, если входная последовательность ограничена, то выходная последова­тельность также должна быть ограниченной. Можно по­казать, что необходимым и достаточным условием устой­чивости является

(1.2)

Неравенство (1.2) удовлетворяется, если отклик на единичный импульс усекается, т. е. если =0 всюду, кроме . Оно может также удовлетво­ряться при откликах на единичный импульс неограничен­ной длительности, например, при . В последнем случае расчетный алгоритм, определяемый выражением (1.1), иногда становится практически не­реализуемым, так как с возрастанием n требуется про­водить все большее количество расчетов для каждого последующего значения выходной последовательности. Так как (1.2) означает, что последовательность , даже если она теоретически имеет бесконечную длитель­ность, все же стремится к нулю при достаточно большом n, то выходную последовательность можно вычис­лить приближенно с помощью (1.1) путем простого усе­чения . Такой эмпирический подход к вычислению выходной последовательности в общем случае мало при­годен, и поэтому были разработаны основы строгой теории, применительно к фильтрам с усеченной импульсной характеристикой. Чем меньше длительность импульсной характеристики, тем эффективнее вычисление, предусмот­ренное (1.1). Кайзер рассмотрел много полезных ме­тодов проектирования цифровых фильтров в частотной области, используй фильтры с усеченной импульсной ха­рактеристикой.

Второй основной расчетный алгоритм базируется на теории линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Простым примером служит уравнение

(1.3)

где К—постоянная, меньшая единицы. Алгоритм реали­зуется путем вычисления каждого последующего выход­ного отсчета по предыдущему выходному отсчету и самому последнему поступившему входному отсчету сигнала . В более общем случае могут быть написаны программы или построена аппаратура для решения систем линейных разностных уравнений, каждое из которых имеет следующий вид:

(1.4)

Уравнения (1.3) и (1.4) определяют расчетные алгорит­мы, дающие решение для следующих друг за дру­гом значений п. Такие уравнения могут быть исследова­ны теоретически как линейные динамические системы, и, в частности, отклик этих систем на дискретные синусои­дальные входные сигналы может быть выражен с помо­щью коэффициентов и .

Теория, изложенная в гл. 2 и 3, позволяет проектиров­щику составить ряд разностных уравнений, обеспечиваю­щих требуемую частотную характеристику, и, в частно­сти, определить требуемую степень сложности алгоритма, так как обычно, чем строже требования, предъявляемые к фильтру (крутой скат характеристики, хорошее при­ближение к некоторой идеальной характеристике и т.д.), тем больше коэффициентов должно содержаться в раз­ностных уравнениях. Tax как выбор разностных уравне­ний вообще не является единственным, то возможны многие варианты структуры фильтра; дальнейший выбор возможен с помощью положений, указанных а гл. 4, в ко­торой проблема синтеза связывается с эффектами кван­тования. В этой главе будет показано, что длину реги­стров памяти часто можно уменьшить, если разумно вы­брать специфическую конфигурацию фильтра.

Третий основной алгоритм базируется на дискретном преобразовании Фурье (ДПФ). Каким образом можно использовать ДПФ для вычислений, эквивалентных (1.1), неочевидно, поэтому этот вопрос будет подробно рас­смотрен в гл. 7. Как будет видно, возникающая при при­менении ДПФ трудность связана с тем, что произведение двух дискретных преобразовании Фурье в частотной об­ласти эквивалентно круговой свертке во временной обла­сти, в то время как (1.1) является линейкой сверткой; этой трудности можно избежать с помощью метода соот­ветствующего разбиения, описанного в гл. 7. Пренебре­гая пока этим аспектом вычисления, опишем алгоритм ДПФ для синтеза цифрового фильтра.

ДПФ для сигнала определяется следующим образом:

(1.5)

В этом уравнении и , где N — число отсчетов сигнала, подлежащих преобразованию. Чтобы показать, как можно использовать (1.5) для алгоритма цифрового фильтра, приведем теорему о свертке, дока­зательство которой дается и гл. 6. Если есть ДПФ для , а есть ДПФ для , то произведение является ДПФ для свертки и :

(1.6)

где означает по модулю N. Если пред­положить, что эта круговая свертка может быть эквива­лентна линейной свертке, то процедуру вычисления мож­но описать в общих чертах следующий образом.

1. Вычислить ДПФ для сигнала . Обозначим его через .

2. Умножить на , где представ­ляет собой требуемую частотную характеристику филь­тра на частотах .

3. Вычислить обратное ДПФ для произведения . Это дает требуемый выходной сигнал

(1.7)

Почти во всех случаях при практическом применении этого алгоритма используется быстрое преобразование Фурье (БПФ). При правильном использовании этот ме­тод может применяться для синтеза фильтров с импульс­ной характеристикой конечной или бесконечной длительности^*). Другими словами, любой фильтр, который может быть реализован с помощью вычислений (1.1) или (1.4), может быть также синтезирован с помощью алгоритма БПФ В тех случаях, когда импульсная характе­ристика фильтра имеет довольно большую длительность, скажем равна длительности нескольких сотен отсчетов, этот метод с точки зрения объема вычислений почти всегда эффективнее прямой свертки (1.1).

Выше была сделана попытка показать, что в распоряжении проектировщика цифровых фильтров имеется довольно иного методов расчета и синтеза. Первоочередной задачей глав 2, 3, 4, 6 и 7 является теоретическое обоснование этих методов.