3.9 Метод частотной выборки

Разностному уравнению

(3.38)

соответствует передаточная функция вида , которая имеет т нулей, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга на единичной окружности в точках

(3.39)

Если в (3.38) вычитание заменить сложением, то пере­даточная функция примет вид , для которого нули также равномерно расположены на единичной окружности в точках

(3.40)

Кривые зависимости амплитуды от частоты для этих фильтров повторяются с периодом рад, поэтому они являются гребенчатыми фильтрами и могут быть включены в группу цифровых устройств, привлекающих особое внимание.

Прежде чем говорить об этом методе, рассмотрим, каково практическое значение уравнения (3.38). Если следующие один за другим значения мыслятся как содержимое регистров запоминающего устройства вычислительной машины, то ясно, что для выполнения вычислений, предусматриваемых уравнением (3.38), необходимо занять в буферном запоминающем устройстве m свободных регистров. По сравнению с тем, что требуется для решения разностных уравнений второго порядка, такой объем памяти обычно составляет заметную величину. Таким образом, возможное практическое применение фильтров, которые будут описаны, ограни­чено системами, в которых имеется необходимый объем памяти, или системами, в которых многие фильтры используют общин входной сигнал. Важно отметить, что задержки, которые подразумеваются в уравнении (3.38), могут быть осуществлены в виде цифровых линий за­держки, которые представляют собой сравнительно не­дорогие типы запоминающих устройств.

Простой резонатор можно соединить каскадно с гре­бенчатым фильтром. Предположим, что резонатор содержит два комплексно-сопряженных полюса, кото­рые расположены точно на единичной окружности (положение нулей резонатора пока обсуждать не бу­дем). Предположим, что угол полюса резонатора таков, что этот полюс совпадает с нулем гребенчатого фильтра:

Полюсы такого резонатора компенсируют и сопряженные с ним нули гребенчатого фильтра. Исходя из этого, мы будем относить резонатор, используемый для компенсации нуля, к элементарному фильтру. Последовательное соединение элементарного и гребенчатого фильтров дает составной фильтр, обладаю­щий следующими свойствами:

1) Импульсная характеристика имеет конечную дли­тельность .

2) Амплитудно-частотная характеристика определя­ется выражением

равным нулю на всех угловых частотах, на которых коэффициент передачи гребенчатого фильтра равен 0, исключая . При характеристика равна

3) Фазочастотная характеристика абсолютно линей­на, за исключением разрывов, составляющих рад. Эти разрывы имеют место в точках, где амплитудная характеристика проходит через нулевые значения.

4) Разность фаз для двух составных фильтров с ре­зонансными частотами и равна для и равна нулю вне этих границ.

5) Амплитудная характеристика любого составного фильтра на резонансных частотах всех других состав­ных фильтров принимает нулевые значения.

При больших m амплитудная характеристика кас­кадного фильтра приближается по форме к кривой

Эти свойства наводят на мысль о том, что путем сложения взвешенных выходных сигналов каскадно соединенных гребенчатых и элементарных фильтров может быть получена любая желаемая амплитудная характеристика точно таким же образом, как любая временная функция «с ограниченным спектром» может быть сформирована с помощью взвешенной суммы за­держанных функций о вида . Рассмотрим несколь­ко подробнее этот подход, который назовем частотной выборкой.

Достаточно узкополосная функция частотной харак­теристики (такая, что частотная характеристика являет­ся достаточно гладкой функцией частоты) подвергается дискретизации в равноотстоящих точках с угловыми частотами

в зависимости от вида используемого гребенчатого фильтра. Положим, что отсчетное значение амплитуды на частоте равно . Чтобы получить элементарную частотную характеристику, которая принимала бы зна­чение на угловой частоте и нулевое значение на всех других дискретных частотах, элементарный фильтр с резонансной частотой каскадно соединяет­ся с гребенчатым фильтром, который имеет задержку и коэффициент передачи .

Так как фазы в последовательности элементарных фильтров при резонансе различаются на , то коэффи­циенты передачи всех элементарных фильтров с нечет­ными номерами следует умножить на -1. Заданный входной сигнал фильтра подается на гребенчатый фильтр, который работает совместно со всеми элемен­тарными фильтрами, имеющими необходимые усиления (у элементарных фильтров с нечетными номерами знаки изменяются на обратные). Выходные сигналы всех эле­ментарных фильтров с надлежащими коэффициентами передачи складываются, и в результате получается тре­буемый выходной сигнал фильтра. Результирующий фильтр имеет импульсную характеристику с длительно­стью , линейную фазочастотную характеристику и амплитудную характеристику, которая на частотах отсчетов удовлетворяет заданным условиям и плавно соединяет эти отсчетные точки. Число типов фильтров, которые могут быть запрограммированы по указанному методу, довольно велико.

Прежде чем пользоваться методом частотной выборки, следует рассмотреть некоторые практические вопросы. Один из них состоит в том, что из-за квантования резонансные полюсы элементарного фильтра не могут в точности компенсировать нули гребенчатого фильтра. Поэтому целесообразно несколько переместить как нули гребенчатого фильтра, так и полюсы элементарного фильтра внутрь единичного круга таким образом, чтобы их радиус составлял около .

Успешно программировались фильтры, полюсы и нули которых располагались на окружностях с радиусами от до , причем в этих условиях свой­ства фильтра изменялись мало.

Рис. 3.12 Измеренная частотная характеристика гребенчатого фильтра, соединенного последовательно с цифровым резонатором

Вернемся к нулям резонаторов, которые особенно важны для полосовых фильтров. В полосе пропускания отсчеты , обычно одинаковы. Поэтому желательно, что­бы при резонансе коэффициенты передачи всех элемен­тарных фильтров были равны. Если нуль помещен в точку , то коэффициент передачи каждо­го элементарного фильтра, соединенного каскадно с гре­бенчатым фильтром, принимает значение , что влияет на амплитудно-частотную и фазочастотную характери­стики, но при больших m этим можно пренебречь. Таким образом, z-преобразование для модифицированного гре­бенчатого фильтра принимает вид

(3.41)

а для модифицированного элементарного фильтра

(3.42)

Следует отметить, что введение дополнительного нуля не требует еще одной операции умножения, поскольку удвоенный коэффициент числителя имеется также и в знаменателе. Характеристика фильтра вида (3.41), соединенного каскадно с фильтром вида (3.42), показана на рис. 3.12. Как показано в параграфе 3.6 (случай 1), можно получить еще более равномерную частотную харак­теристику, убрав из числителя (3.42).

Пример. Набор полосовых фильтров. Требуется рассчитать на­бор полосовых фильтров (с общим входом), каждый из которых имеет полосу 100 Гц, так, чтобы перекрывалась полоса от 300 до 3100 Гц. Фильтры должны быть настолько избирательны, насколько это возможно, но с минимальной длительностью пульсаций. Следующее требование заключается в том, чтобы характеристи­ки соседних фильтров пересе­кались в точках с затуханием 3 дБ по отношению к коэффи­циенту передачи в середине полосы. Ни один из стандартных методов расчета не обеспечи­вает одновременно удовлетво­рительную избирательность и малую продолжительность пульсаций.

Рис. 3.13 Полосовой фильтр, рассчитанный методом частотной выборки

Выбранные фильтры были фильтрами на основе частотной выборки; каждый из них составлен из 7 элементарных фильтров. Последовательные нули отстоят друг от друга на 100 Гц. Так как частота дискретизации равна 12,5 кГц, то . Такой фильтр в об­щем виде имеет z-преобразование

Структура фильтра полностью определяется набором r и набо­ра чисел в (3.43). Так как трехдецибельные точки пресечения должны отстоять друг от друга на 400 Гц, то и принимаются равными . Три центральных члена имеют . Коэффициенты передачи оконечных членов и , равные , были найдены эмпирически, исходя из условия удовлетворительного затухания вне полосы.

Структура фильтра с полосой от 300 до 700 Гц показана на рис. 3.13. На рис. 3.14 представлены экспериментальные частотные характеристики этого фильтра, а также следующего за ним более высокочастотного фильтра (с полосой от 700 до 1100 Гц).

Рис. 3.14 Характеристика полосового фильтра, рассчитанного методом частотной выборки