- •Оглавление
- •1. Общие вопросы цифровой обработки сигналгов
- •1.1. Основные расчетные алгоритмы для цифровых фильтров
- •2. Дискретные линейные системы
- •2.1. Модель дискретной линейной системы
- •2.2. Линейное разностное уравнение первого порядка
- •2.3. Частотная характеристика цепи первого порядка
- •2.4. Геометрическая интерпретация частотной характеристики
- •2.6. Обратное z-преобразование
- •2.7. Теорема о свертке
- •2.8. Теорема о комплексной свертке
- •2.9. Решение разностных уравнений первого порядка с помощью z-преобразования
- •2.10. Решение разностных уравнений второго порядка с помощью z-преобразования
- •2.11. Двустороннее z-преобразование
- •2.12. Цепи для разностного уравнения второго порядка
- •3. Расчет цифровых фильтров в частотной области
- •3.1. Синтез цифровых фильтров
- •3.2. Различные методы расчета цифровых фильтров
- •3.3. Применение принципа инвариантности импульсной характеристики
- •3.4. Коэффициент передачи цифровых резонаторов
- •3.5. Расчет цифровых фильтров на основе непрерывных фильтров с нулями на бесконечности
- •3.6. Определение цифрового фильтра с помощью квадрата модуля передаточной функции
- •3.7. Расчет цифровых фильтров путем билинейного преобразования функции непрерывного фильтра
- •3.8. Фильтры на основе частотной выборки
- •3.9 Метод частотной выборки
- •4. Эффекты квантования в цифровых фильтрах
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Ошибки, вызываемые неточными значениями постоянных параметров
- •4.3. Ошибки, вызываемые аналого-цифровым преобразованием
- •4.4. Ошибки, вызываемые квантованием произведений
- •4.5. Эффект мертвой зоны
- •4.6. Формулы для шума округления при различных реализациях цифровых цепей
- •4.7. Пример. Различные структуры цепи с двумя полюсами и одним нулем
- •5. Дискретные преобразования фурье
- •5.1. Дискретное преобразование Фурье
- •5.2. Алгоритм Герцеля
- •5.3. Быстрое преобразование Фурье
- •Прореживание по времени
- •Прореживание по частоте
- •5.4. Соотношение между прореживанием по времени и прореживанием по частоте
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.3. Частотная характеристика цепи первого порядка
Наиболее ценным является описание нашей простой системы с помощью ее отклика на синусоидальный входной сигнал. Если на рис. 2.1 принять равным , тогда . Отклик на реальный синусоидальный сигнал, скажем , может быть всегда найден сложением откликов на входные сигналы и . Решение (2.1) для входного сигнала может быть найдено с помощью простой индукции. Здесь ми даем только установившееся решение с начальным условием . Оно имеет вид
(2.4)
Рис. 2.5 Сравнение частотных характеристик цифрового и аналогового фильтров первого порядка
Как и следовало ожидать, выходной сигнал является комплексно экспоненциальным, подобно входному сигналу, но он изменён в соответствии с передаточной функцией, которую мы определим как
(2.5)
где
(2.6)
Равенства (2.6) выражают частотную избирательность цепи. На рис. 2.5 изображена величина H из (2.6) для различных К и при T=1, из которого мы можем определять сходство и различие между цифровой системой и соответствующей аналоговой системой, такой, как RC-цепь с .
2.4. Геометрическая интерпретация частотной характеристики
Уравнения (2.5) и (2.6) могут быть интерпретированы геометрически с помощью единичной окружности, показанной на рис. 2.6.
Из (2.5) видно, что есть , а , так что вектор, соединяющий некоторую точку на окружности (при угле ) и критическую точку на действительной оси, полностью определяет передаточную функцию. В дальнейшем мы увидим также, что эта геометрическая картина может быть обобщена для описания линейных цифровых цепей с произвольным числом операций.
Рис. 2.6 Представление цепи первого порядка в z-плоскости
2.5 Z-преобразование
Ранее было показано, что разностное уравнение первого порядка может быть наглядно представлено передаточной функцией, которая характеризует поведение системы в зависимости от частоты при синусоидально» воздействии. Оказалось также возможным изобразить эту передаточную функцию геометрически. Формальным обоснованием для распространения такой интерпретации на обобщенное линейное разностное уравнение является z-преобразование, которое допускает над разностными уравнениями такие же алгебраические действия, какие допускает преобразование Лапласа над дифференциальными уравнениями. Исследуем кратко свойства z-преобразования, после этого обсудим линейные разностные уравнения с точки зрения цепей и затем применим методы z-преобразования для нахождения обобщенных решений этих уравнений.
Рассмотрим последовательность чисел , которая образована при дискретизации непрерывного колебания .
Z-преобразование этой последовательности определяется как
(2.7)
где z - комплексная переменная, а - функция этой комплексной переменной. Поскольку (2.7) - степенной ряд переменной , то обычно возникает вопрос о сходимости такого ряда. Гуревич детально исследовал эту проблему, и ниже будет приведено несколько основных результатов из его работы.
Ряд (2.7) сходится для и расходится для , где радиус сходимости R есть верхний предел последовательности .Так, например, если , то ряд (2.7) сходится вне окружности радиуса K.
Для есть аналитическая функция z. Таким образом, функция, определенная выражением (2.7) и распространенная на всю z-плоскость с помощью аналитического продолжения, может быть названа z-преобразование последовательности . Отсюда следует, что определяется на всей z-плоскости, а выражение (2.7) справедливо только в области сходимости.
В таблице приведены z-преобразования для некоторых наиболее часто встречающихся последовательностей.
Таблица
Название последова-тельности |
Последовательность |
Z-преобразование последова-тельности |
Единичный импульс |
|
|
Единичный скачок |
|
|
Комплексная экспонента |
|
|