3.3. Применение принципа инвариантности импульсной характеристики

Прежде всего, покажем, что цифровой фильтр с им­пульсной характеристикой, совпадающей с дискретизованной импульсной характеристикой заданного непре­рывного фильтра, можно получить, используя соответствие

(3.1)

Импульсная характеристика непрерывного фильтра определяется как обратное преобразование Лапла­са от системной функции , заданной в общем виде^*) левой частью выражения (3.1). Аналогично, импульсная характеристика цифрового фильтра определяется как обратное z-преобразование его системной функции , которая в общем случае может быть выражена правой частью (3.1).

Таким образом,

(3.2)

где обозначает обратное (одностороннее) преобразование. Лапласа.

Если требуется, чтобы , то

(3.3)

Взяв z-преобразование от (3.3), получим

(3.4)

Таким образом, условие (3.3), состоящее в том, что импульсная характеристика цифрового фильтра равна дискретизованной импульсной характеристике данного непрерывного фильтра , приводит к цифровому фильтру, определяемому выражением (3.4), где все по­стоянные и определяются из . Исходя из соот­ветствия (3.4), можно составить таблицы z-преобразования.

Пример. Простой однополюсной RC-фильтр нижних частот преобразуется в цифровой фильтр с помощью соответствия

(3.5)

Системные функции различных резонансных контуров могут быть разложены на элементарные дроби, что приводит к соответствиям

(3.6)

3.4. Коэффициент передачи цифровых резонаторов

Соответствия (3.6) определяют два цифровых резо­натора, являющихся импульсными инвариантами задан­ных непрерывных резонаторов. На практике цифровые резонаторы могут определяться без обращения к непре­рывным аналогам. Для этого необходимо задать на z-плоскости размещение пары комплексно-сопряженных полюсов и, в большинстве случаев, одного нуля, по ко­торым можно быстро составить разностное уравнение. Поскольку многие цифровые фильтры представляют со­бой простые каскадные или параллельные комбинации таких резонаторов, то важно знать их свойства,

Z-преобразование резонатора с полюсами в точках и нулем в точке имеет следующий вид:

(3.7)

Амплитудно-частотная характеристика для выражения (3.7) есть , и она может быть получена непос­редственно из рис. 2.9 путем применения теоремы коси­нусов:

Случай 1:

Для значений r, близких к единице, величина на резонансной частоте может быть приближенно представлена в виде

(3.9)

которая не зависит от . Таким образом, при указан­ном выборе q становится возможным построение груп­пы резонаторов с равными коэффициентами передачи (или фильтров, составленных из таких резонаторов), охватывающих широкий диапазон частот.

В случае узкополосных резонаторов, для которых r близко к единице, коэффициент передачи при резонансе, как это ясно следует из (3.9), обычно значительно больше единицы. Знание коэффициентов передачи фильт­ров необходимо для определения надлежащих длин слов в регистрах и для того, чтобы избежать проблем переполнения разрядной сетки.

Случай 2:

Разностное уравнение для (3.7) в этом случае может быть записано в виде

(3.10)

Для решения (3.10) нужны лишь две операции умно­жения, в то время как в общем случае любого q необ­ходимо три операции умножения. Поэтому данный случай представляет особый интерес для применений, связанных с работой в реальном масштабе времени, и в тех случаях, когда полное время работы вычислительной машины чрезмерно велико. Чувствительность резонанс­ного коэффициента передачи к изменению резонансной частоты здесь выше, чем в случае 1. Таким образом, для построения набора фильтров с равными коэффици­ентами передачи на центральных частотах лучше при­менять случай 1.

Случай 3:

В этом случае коэффициент передачи равен нулю, если , что часто бывает желательным. Как и в слу­чае 2, необходимы две операции умножения. Коэффи­циент передачи при в раз больше коэф­фициента передачи при , близком к нулю, но при условии, что велико по сравнению с .

Случай 4:

В этом случае нуль исчезает. Иногда требуется спроектировать резонаторы без нулей, но с постоянным коэффициентом передачи при , не зависящим от . Это достигается при помощи цифровой системной функции

(3.11)