1.4 Линейные пространства Rn. Векторы и операции над ними. Координаты вектора в заданном базисе

С помощью системы координат удается отождествить вектор или (точку) на плоскости с упорядоченной парой действительных чисел, а в пространстве – с тройкой чисел. Современная физика имеет дело с четырехмерным пространством, где четвертая координата – время. Отвлекаясь от реальных геометрических представлений, можно рассмотреть упорядоченный набор из n действительных чисел и по аналогии назвать его n-мерным вектором. Числа называются координатами вектора . Количество координат вектора называется размерностью.

Можно исходить и из понятия множества. Декартово произведение множества действительных чисел R само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар и его можно отождествить с плоскостью. Это множество обозначают R². Множество RRR = R³ состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение R само на себя n раз, то получим совокупность всех n-мерных векторов – пространство Rⁿ .

Чтобы работать с математическими объектами, необходимо определить операции над ними. Операции над n-мерными векторами вводятся по аналогии с обычными и обладают теми же алгебраическими свойствами. Напомним их

; ;

;

Всякое множество, для элементов которого определены операции сложения и умножения элементов на число таким образом, что выполняются вышеперечисленные свойства, называется векторным пространством.

На случай n-мерного пространства Rⁿ 

пусть . Тогда

Скалярным произведением двух векторов называется число

.

Аналогично длине вектора в трехмерном пространстве определяется норма вектора в Rⁿ - пространстве

Линейная независимость. Базис

Система векторов будет называться линейно зависимой, если найдется набор чисел ₁, ₂,…, _k, не все из которых равны нулю, такой, что выполняется равенство

.

В противном случае (т.е. ) система называется линейно независимой.

Два ненулевых вектора на плоскости линейно независимы тогда и только, когда они неколлинеарны.

Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

Аналогично для трех- и четырехмерного пространства.

Вообще, любые n+1 векторов пространства Rⁿ линейно зависимы. Так, легко проверить, что система векторов

линейно независима.

Пусть – произвольный вектор. Тогда, очевидно, справедливо равенство

Говорят, что вектор разложен по векторам Эта система векторов называется базисом пространства Rⁿ.

Любые n линейно независимых векторов Rⁿ образуют базис, причем любые m  n линейно независимых векторов базиса Rⁿ не образуют. Таким образом, минимальное количество векторов, которые могут составить базис R^n, равно n.

Вектор в косоугольном базисе трех векторов

Пусть задано 4 вектора в декартовой системе координат. Тогда вектор в базисе может быть представлен в виде: .

Если расписать это векторное равенство, то получим систему линейных алгебраических уравнений

По правилу Крамера (см. параграф ниже) можно найти коэффициенты разложения ; i = 1, 2, 3.