3.2 Эмпирическое распределение. Точечные оценки параметров распределения генеральной совокупности

Во многих случаях мы располагаем информацией о виде закона распределения случайной величины (нормальный, бернуллиевский, равномерный и т. п.), но не знаем параметров этого распределения, таких как M[], D[]. Для определения этих параметров применяется выборочный метод.

Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда. Назовем выборочной средней величину

Величина называется относительной частотой значения признака x_i.

Если значения признака, полученные из выборки, не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой

.

Естественно считать величину выборочной оценкой параметра M_.

Выборочная оценка параметра, представляющая собой число, называется точечной оценкой.

Выборочную дисперсию можно считать точечной оценкой дисперсии D[] генеральной совокупности.

Используя выборочный метод можно сделать некоторые выводы о наличии или глубине корреляционной связи случайных величин  и , даже не зная закона совместного их распределения. Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где i-й отобранный объект (i = 1, 2, ... , n) представлен парой чисел x_i, y_i:

x1		x2	...	xn
y1	y2		...	yn

Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

Здесь

,

Выборочный коэффициент корреляции можно рассматривать как точечную оценку коэффициента корреляции _, характеризующего генеральную совокупность.

Выборочные параметры или любые другие зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.

Пусть выборочный параметр  рассматривается как выборочная оценка параметра  генеральной совокупности и при этом выполняется равенство

M[] = ..

Такая выборочная оценка называется несмещенной.

Для доказательства несмещённости некоторых точечных оценок будем рассматривать выборку объема n как систему n независимых случайных величин ₁, ₂,... _n , каждая из которых имеет тот же закон распределения с теми же параметрами, что и случайная величина , представляющая генеральную совокупность. При таком подходе становятся очевидными равенства:

M[x_i] = M[_i] = M[]; D[x_i] = D[_i] = D[]

для всех i = 1, 2, ... , n.

Теперь можно показать, что выборочная средняя есть несмещенная оценка средней генеральной совокупности или, что то же самое, математического ожидания интересующей нас случайной величины :

Выведем формулу для дисперсии выборочной средней:

Найдем теперь, чему равно математическое ожидание вы­борочной дисперсии  ². Сначала преобразуем  ² следующим образом:

Здесь использовано преобразование:

Теперь, используя полученное выше выражение для величины  ², найдем ее математическое ожидание.

Так как M[²]  D[], то выборочная дисперсия не является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности, нужно умножить выборочную дисперсию на . Тогда получится величина

или

называемая исправленной выборочной дисперсией.

Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того же параметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию, называется эффективной.

Полученная из выборки объема n точечная оценка _n параметра  генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к . Это означает, что для любых положительных чисел  и  найдется такое число n_, что для всех чисел n, удовлетворяющих неравенству n > n_ выполняется условие

и являются несмещёнными, состоятельными и эффективными оценками величин D[] и M[].

Пример 28. Приведенная ниже таблица представляет собой случайную выборку значений признака X. Объем выборки n=100.

50,2	54,0	41,0	42,0	58,2	59,3	84,8	45,0	76,5	58,3
21,0	55,0	45,0	21,5	46,0	44,0	42,5	49,0	48,7	75,0
15,3	55,0	23,8	46,5	53,0	62,8	78,5	67,0	34,5	49,9
49,7	63,0	30,0	32,0	42,4	22,4	52,0	70,4	57,2	50,0
23,0	47,8	47,4	50,8	78,3	27,0	56,6	51,3	58,6	28,4
51,7	50,0	48,8	49,4	57,5	47,4	33,5	27,0	39,7	57,5
18,4	35,6	28,4	37,6	49,5	26,7	54,0	68,6	29,3	62,7
43,8	44,0	69,1	46,3	76,7	37,1	69,2	39,3	30,0	43,0
85,0	63,0	30,0	43,8	64,8	22,0	38,8	42,3	64,8	41,0
30,0	10,0	63,0	48,8	71,2	54,4	47,8	31,2	46,1	17,8

Найти закон распределения, точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения признака X.

Решение. Значения Х в таблице почти не повторяются, поэтому построим интервальное распределение Х. Определим длину каждого частичного интервала (I_n), предварительно найдя по таблице размах выборочных значений (R):

,

,

где n=100 – объем выборки.

Нижняя граница первого интервала принимается равной а его верхнюю границу второй интервал будет (15; 25), третий (25; 35) и так далее. Если повторяющееся выборочное значение совпадает с границей двух соседних интервалов, то договоримся относить его к левому интервалу. Так число 55 дважды будет отнесено к интервалу (45; 55) и ни разу – к интервалу (55; 65).

В итоге этих действий получаем следующее интервальное распределение исходной выборки, куда внесены не только частоты , но и относительные частоты выборочных значений признака, попавшего в i-й частичный интервал:

xi–1–xi	5-15	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	75-85
ni	1	9	14	19	29	15	7	6
	0,01	0,09	0,14	0,19	0,29	0,15	0,07	0,06

Для проверки правильного заполнения таблицы нужно убедиться, что сумма элементов второй строки равна объему выборки (в нашем примере n=100), а сумма элементов третьей строки равна единице.

Распределение непрерывной случайной величины характеризуется функцией плотности вероятностей. В статистике ее оценкой является гистограмма относительных частот. Это ступенчатая фигура, для построения которой по горизонтальной оси откладываются частичные интервалы, по вертикальной – плотности относительных частот В нашем примере

0,001

0,009

0,014

0,019

0,029

0,015

0,007

0,006

От интервального распределения выборки можно перейти к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемом примере такое распределение будет иметь вид следующей таблицы:

xi	10	20	30	40	50	60	70	80
ni	1	9	14	19	29	15	7	6
	0,01	0,09	0,14	0,19	0,29	0,15	0,07	0,06

Для наглядности можно построить полигон относительных частот. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках (x_i, ).

Для точечного распределения выборки можно построить эмпирическую функцию распределения F^*(x). Она является статистической оценкой функции распределения вероятностей признака Х (интегрального закона распределения) и строится по формуле , где n – объем выборки, а n_х – сумма частот выборочных значений признака Х, меньших х. Ясно, что эмпирическую функцию распределения характеризует процесс накопления относительных частот. В нашем примере

Аналогом эмпирической функции распределения является кумулята относительных частот, представляющую собой для точечного (дискретного)выборочного распределения ломаную линию с вершинами в точках , где n – объем выборки, а n_х – сумма частот выборочных значений признака Х, меньших х_i.

Точечные статистические оценки генеральных параметров распределения признака Х вычислим по формулам

где x_i – выборочное значение признака Х, n_i – частоты этих значений, n – объем выборки.

Получим