3.3 Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии несмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то для выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным.

Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности (или случайной величины , определенной на множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот параметр через .

По сделанной выборке по определенным правилам найдем числа ₁ и ₂, так чтобы выполнялось условие:

P(₁<  < ₂) =P((₁; ₂)) = .

Числа ₁ и ₂ называются доверительными границами, интервал (₁, ₂) – доверительным интервалом для параметра . Число  называется доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.

Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0.95, 0.99 или 0.999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр попал в интервал (₁, ₂) достаточно высока.

Число (₁ + ₂)/2 – середина доверительного интервала – будет давать значение параметра  с точностью (₂ – ₁)/2, которая представляет собой половину длины доверительного интервала.

Границы ₁ и ₂ определяются из выборочных данных и являются функциями от случайных величин x₁, x₂, ... , x_n , а следовательно – сами случайные величины.

Отсюда – доверительный интервал (₁, ₂) тоже случаен. Он может покрывать параметр  или нет. Именно в таком смысле нужно понимать случайное событие, заключающееся в том, что доверительный интервал покрывает число .

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Пусть случайная величина  (определенная на множестве объектов генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D[] = ² ( > 0). Из генеральной совокупности делается выборка объема n: Чтобы подчеркнуть случайный характер величин , будем рассматривать их как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же, как ξ:

Можно доказать, что случайная величина (выборочное среднее) также распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = M = a и дисперсией , т.е.

Обозначим неизвестную величину M через a и подберем по заданной надежности  число Δ > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P ( – a < Δ) = . (7)

Как известно, вероятность того, что случайная величина принимает значение в интервале (a–l, a+l), симметричном относительно центра рассеяния a, вычисляется по формуле:

Используя вышеприведенную формулу, получаем

Осталось подобрать Δ так, чтобы выполнялось равенство

Для любого   [0; 1] по таблице «Значение функции Лапласа» можно найти аргумент (число t_), чтобы ₀(t_) = /2.

Теперь из равенства определим значение Δ:

.

Окончательный результат получим, представив формулу (7) в виде:

.

Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью  доверительный интервал

покрывает неизвестный параметр a = M генеральной совокупности.

Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M с точностью и надежностью .

Пример 29. Среднее содержание вредных примесей, определенных на основании выборки, равно 18,307 мг; найти доверительный интервал для а – истинного содержания вредных примесей с надежностью (1–α)=0,95. Среднее квадратическое отклонение известно и равно σ = 0,0029 мг. Объем выборки n=5.

Решение. Учитывая, что  = (1–α) = 0,95 и ₀(t_) = /2 = 0.475, по таблице «значение функции Лапласа» выясняем, что t_=1,96. Тогда предельная погрешность интервального оценивания

Искомый доверительный интервал равен

18.307–0.0025 < а < 18.307+0.0025, или 18.3015 < а < 18.3095.

Следуя полученному результату, можно утверждать, что если будет произведено достаточно большое число выборок, то только в 5 случаях из 100 содержание вредных примесей может выйти за границы доверительного интервала.

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

Пусть  – случайная величина, распределенная по нор­мальному закону с неизвестным математическим ожиданием M (которое обозначим буквой a) и неизвестным σ. Произведем выборку объема n. Определим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию

Рассмотрим случайную величину , которая (доказывается) будет распределена по закону Стьюдента с (n – 1) степенями свободы.

Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности  и по числу степеней свободы (n – 1) найти такое число T_, чтобы выполнялось равенство

или , (8)

или эквивалентное равенство

Здесь в скобках – условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности , а также от параметров выборки и S.

Чтобы определить значение t_ по величине , равенство (8) преобразуем к виду:

Теперь по таблице «Квантили распределения Стьюдента» для случайной величины t_, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности 1 –  и числу степеней свободы n – 1 находим t_ и, следовательно, искомый доверительный интервал:

Пример 30. По условию примера 29, найти для истинного содержания вредных примесей доверительный интервал с надежностью 0,95, считая неизвестной дисперсию генеральной совокупности. Рассчитанное по выборке исправленное среднее квадратическое отклонение S = 0,0029 мг.

Решение. По таблице «Квантили t – распределения Стьюдента» определим критические точки по заданной доверительной вероятности  = (1–α) = 0,95 и числу степеней свободы k = n – 1 = 5 – 1 = 4. Получим t_ = 2,78. Вычислим предельную погрешность интервального оценивания

Искомый доверительный интервал равен

18.307–0.0036 < а < 18.307+0.0036, или 18.3034 < а < 18.3106.

Сравнивая доверительные интервалы, накрывающие с одной и той же доверительной вероятностью 0,95 истинное содержание вредных примесей, в случае, когда генеральная дисперсия известна и когда неизвестна, видим, что во втором случае доверительный интервал получается более широкий. Однако при объеме выборки n > 30 эти отличия станут незначительными.

Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения

Пусть случайная величина  распределена по нормальному закону, для которого математическое ожидание M = a и дисперсия неизвестны. Делается выборка объема n. Из нее определяется исправленная выборочная дисперсия Вводим случайную величину , распределенную по закону ² c (n –1) степенями свободы.

По заданной надежности  можно найти сколько угодно границ ₁² и ₂² интервалов, таких, что

Найдем ₁² и ₂² из следующих условий:

(9)

(10)

В таблице «Квантили распределения » для случайной величины ² обычно дается решение уравнения P(²  _α²) = α. Из такой таблицы по заданной величине α и по числу степеней свободы n – 1 можно определить значение _α². Таким образом, сразу находится значение ₂² в формуле (10).

Для определения ₁² преобразуем (9):

P(²  ₁²) = 1 – (1 –  )/ 2 = (1 +  )/ 2.

Полученное равенство позволяет определить по названной таблице значение ₁².

Теперь, когда найдены значения ₁² и ₂², представим исходное равенство в виде . Или

Последнее равенство перепишем в такой форме, чтобы были определены границы доверительного интервала для неизвестной величины D

Здесь

Если математическое ожидание M = a известно, то доверительный интервал для неизвестной величины D будет иметь вид

где

Пример 31. Приняв числовые данные примера 29, найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное среднеквадратическое отклонение σ с заданной надежностью 0,95.

Решение. По таблице «Квантили распределения » найдем значения хи-квадрат с k степенями свободы k=n–1=4. Будем иметь Тогда искомый доверительный интервал имеет вид:

, или 0,0017 < σ < 0,0084.