1.2 Множества и подмножества. Операции над множествами. Мощность множества

Краеугольным камнем современной математики является теория множеств. Ее основателями в 19 веке явились Больцана, Кантор, Дедекинд. Бурбаки утверждали, что возможно вывести всю математику из единого источника – теории множеств.

Для теоретиков множественная аксиоматика является фундаментом современной теории вероятностей и других разделов.

Понятие множества вводится аксиоматически. Множество определяет совокупность объектов произвольной природы.

Множество – любое собрание, коллекция любых объектов. Обозначение: прописные латинские буквы A, B, C…

Элемент множества – любой объект множества: а  A. Обозначение не принадлежности: i  A.

Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов.

При записи математических рассуждений используют экономную символику, применяемую в логике.

Cлово «любые» заменяется символом  – квантором всеобщности, а слово «существует» – символом  – квантором существования.

Запись  xX (x) означает, что для всякого элемента xX истинно утверждение (x).

Запись  xX (x) означает, что существует элемент xX такой, что для него истинно утверждение (x).

Если элемент xX, для которого истинно утверждение (x), не только существует, но и единственен, то пишут

 xX (x).

Множество конечно, если оно содержит натуральное или нулевое число элементов, и бесконечно, если оно не является конечным.

Множество X называется ограниченным сверху, если существует действительное число а такое, что х  а для всех xX. Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X.

Для заданного ограниченного сверху множества X множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества X и обозначается символом supX.

Точная нижняя грань множества X обозначается символом infX.

Множество X, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

К примеру, множество [0, 1) имеет множество верхних граней 1, , наименьший элемент которого равен 1. Поэтому sup[0, 1)=1, причем 1[0, 1) inf[0, 1)=0.

Множество A называется подмножеством множества B, или множество A принадлежит множеству B, если  элемент A принадлежит также и B. Обозначение: A  B.

Множество A не принадлежит множеству B, если  x: x A и x B. Обозначение: A  B.

Пустым множеством, или нуль-множеством, называется множество  = { x: x  }

Существует только одно пустое множество.

Подмножества A и  множества A называются тривиальными.

Булеаном множества A называется множество всех подмножеств множества A. Обозначается готической буквой M(A).

Множество задают либо перечислением его элементов, либо описанием свойств его элементов. В последнем случае используется обозначение A={xT:(x)} или A={xT(x)}. То есть множество A – это совокупность тех, и только тех, элементов из некоторого основного множества T, которые обладают свойством .

Двухэлементное множество {x,у}, в котором элемент х находится на первом, а элемент у на втором месте, называется упорядоченной парой (x,у).

Элемент х называется первой координатой упорядоченной пары (x,у), а у – второй координатой.

Две упорядоченные пары равны, если совпадают их координаты.

Пусть заданы два множества Х и Y. Множество всевозможных упорядоченных пар {x,у} таких, что xХ и уY называется декартовым произведением и обозначается Х  Y. Например, декартовым произведением является плоскость с двумя координатными осями, так как определяет множество пар вещественных чисел.

Пример 1. Описать перечислением элементов множество

Решение. A есть множество всех целых неотрицательных корней уравнения . Следовательно,