2.6 Формула полной вероятности

Пусть имеется группа событий H₁, H₂,..., H_n , обладающая следующими свойствами:

1) Все события попарно несовместны: H_i ∩ H_j=Æ; i, j=1,2,...,n; ij;

2) Их объединение образует пространство элементарных исходов :

=H₁H₂...H_n.

В этом случае будем говорить, что H₁, H₂, ..., H_n образуют полную группу событий. Такие события принято называть гипотезами.

Пусть А – некоторое событие: А   Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A)=P(A/H₁)P(H₁)+P(A/H₂)P(H₂)+...+P(A/H_n)P(H_n)=

.

Доказательство.

Очевидно, что A=(A∩H₁)(A∩H₂)...(A∩H_n), причем все события A∩H_i (i=1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P(A)=P(A∩H₁)+P(A∩H₂)+...+P(A∩H_n ).

Если учесть, что по теореме умножения P(A∩H_i)=P(A/H_i)P(H_i) (i=1,2,...,n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример13. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа окажется бракованной, если лампы поступают в магазин от трех производителей? Причем 30% всех ламп поставляет первый производитель, 50% – второй, 20% – третий. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%.

Решение. Пусть событие H₁ состоит в том, что выбранная лампа поступила от первого производителя, H₂ – от второго, H₃ – от третьего. Очевидно, что

Определим событие A как то, что выбранная лампа оказалась бракованной, а A/H_i как событие, состоящее в том, что выбранная бракованная лампа из ламп i-го производителя. Из условия задачи следует

По формуле полной вероятности получаем

Пример 14. Какова вероятность роста стоимости акций компании в следующем году, если экономист полагает эту вероятность равной 0,75 при экономическом подъеме страны и равной 0,30 при спаде. При этом по его оценке вероятность экономического подъема равна 0,80.

Решение. Имеем две гипотезы: H₁ – подъем экономики, H₂ – спад экономики. Примем за событие А ситуацию – «стоимость акций компании в будущем году поднимется». Очевидно, события H₁ и H₂ образуют полную группу (P(H₁)+P(H₂)=1,00), отсюда P(H₁) = 0,80 и P(H₂) = 0,20. Числа 0,75 и 0,30 являются условными вероятностями события А при условии гипотез H₁ и H₂ соответственно, т.е. P(A/H₁)=0,75 и P(A/H₂)=0,30. По формуле полной вероятности находим

2.7 Формула Байеса

Пусть H₁,H₂,...,H_n – полная группа событий и А – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(3)

Здесь P(H_k /A) – условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (3) можно представить в виде

P(H_k∩A)=P(A∩H_k)=P(A/H_k)P(H_k).

Для представления знаменателя формулы (3) можно использовать формулу полной вероятности

.

Теперь из (3) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

.

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез.

Пример 15. Из трех урн с шарами вынимается наугад 1 шар, который оказался белым. Найти послеопытную вероят­ность того, что шар вынут из первой урны, если в первой урне 3 белых шара и 1 черный, во второй – 2 белых и 3 черный, в третьей – 3 белых.

Решение. Обозначим за H₁ гипотезу – «шар выбран из 1-й урны», соответственно H₂ – «шар выбран из 2-й урны» и H₃ – «шар выбран из 3-й урны». Гипотезы равноверояны и равны

Определим вероятность гипотезы H₁ при условии, что событие А= «вынут белый шар» уже произошло, т.е.