2.3 Статистическое определения вероятности. Частота и вероятность

Рассмотрим случайный эксперимент, где нет симметрии, предопределяющей равновозможные исходы. Например, подбрасывается кубик, сделанный из неоднородного материала. Из физики известно, что кубик более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Вычислить вероятность, используя классическое определение, в этом случае нельзя. (Почему) Наверное, чтобы проявилась вероятность, надо подбросить этот кубик n раз (где n – достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n₃ и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n₃/n .

Это отношение называется относительной частотой или эмпирической вероятностью.

Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов – единицы, двойки, четверки и т.д.

Если повторять серию бросаний, увеличивая n в каждой серии, то можно убедиться, что частота появления трех очков начнет колебаться возле одной определенной величины (вероятности события).

Говорят, что относительная частота стабилизируется около этого значения. Такое поведение характерно для любого случайного события и называется законом статистической устойчивости

При неограниченном возрастании числа случайных экспериментов относительная частота каждого исхода имеет тенденцию к стабилизации.

Итак, случайное событие характеризуется тремя особенностями

• неопределенностью исхода единичного эксперимента

• возможностью неограниченного повторения в одинаковых условиях

• стабилизацией относительной частоты.

Немецкий математик Р. Мизес предлагал определить вероятность Р(А) случайного события А через предел его эмпирической вероятности

.

Однако, можно ли на практике выполнить бесконечно большое число однотипных испытаний К тому же предел, строго говоря, не существует. Следовательно, частотное определение вероятности оказалось несостоятельным.

Уточнение понятия вероятности произошло на основе аксиоматического подхода, разработанного А.Н.Колмогоровым.

2.4 Геометрическое определение вероятности

Дадим определение вероятности события для случайного эксперимента с несчетным множеством исходов.

Если между множеством  элементарных исходов случайного эксперимента и множеством точек некоторой плоской фигуры  (сигма большая) можно установить взаимно-однозначное соответствие, а также можно установить взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующих событию А, и множеством точек плоской фигуры  (сигма малая), являющейся частью фигуры , то

,

где S_ – площадь фигуры , S_ – площадь фигуры .

Пример 10. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x – время прихода первого в столовую, а y – время прихода второго (12x13, 12y13).

Е сли первый пришел не позже второго (y  x), то встреча произойдет при условии 0  y – x  1/6 (10 мин. – это 1/6 часа). Если второй пришел не позже первого (xy), то встреча произойдет при условии 0x–y1/6. Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, и множеством точек области , изображенной на рис. 8 в заштрихованном виде, можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Искомая вероятность p равна отношению площади области  к площади всего квадрата. Площадь квадрата равна единице, а площадь области  можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рис. 6. Отсюда следует: р = 1–25/36 = 11/36.