Определенный интеграл и его свойства

Определенный интеграл отличается от неопределенного тем, что это либо число, либо первообразная с определенной постоянной.

Определенный интеграл можно представить как предел некоторой суммы

.

Здесь весь отрезок разбит на n отрезков , причем (или ,или ). Тогда – площадь прямоугольника.

Интуитивно ясно, что при интегральная сумма стремится к площади криволинейной трапеции.

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при стремлении максимального частичного отрезка разбиения к нулю.

Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл находится по формуле:

.

Свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , если на .

Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми .

Механический смысл определенного интеграла: на графике ускорения отображает скорость, а на графике скорости отображает путь, пройденный телом при равноускоренном движении от t = 0 до момента t, если в начальный момент скорость и путь равны нулю.

Пример 7. Вычислить площадь, ограниченную параболами

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений

Решая квадратное уравнение, определим его корни: и Тогда искомая площадь будет равна

1.9 Понятие о дифференциальных уравнениях. Задача коши

Дифференциальные уравнения – это уравнения, связывающие неизвестную функцию и ее производные.

В самом общем виде дифференциальное уравнение записывается так

.

Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения.

Многие физические (и не только) уравнения имеют вид дифференциальных уравнений. Рассмотрим несколько примеров.

1. Уравнение механического движения: , где х=х(t) – неизвестная функция, m и F – известные величины. В зависимости от условий задачи получают различные дифференциальные уравнения:

а) сила постоянна. Уравнение движения примет вид

б) сила периодически изменяется со временем, например по закону . Уравнение движения

в) сила пропорциональна смещению (движение идеально упругой пружины): . Уравнение движения:

г) сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, (свободный полет). Уравнение движения:

д) постоянная сила тяжести и сила трения , пропорциональная скорости, действующие одновременно (падение с трением). Уравнение движения:

.

Все приведенные уравнения – дифференциальные уравнения второго порядка.

2. Радиоактивный распад. Экспериментальные данные показывают, что скорость изменения массы пропорциональна массе вещества в данный момент: .

3. Электрическая цепь. Если в цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора R и конденсатора C, произошло короткое замыкание, то напряжение U на конденсаторе будет меняться по закону .

4. Народонаселение. Представим число жителей страны в момент времени t как функцию L=L(t). Допустим, что за единицу времени народонаселение увеличивается на определенный процент. Тогда за период времени появится новых жителей . Для скорости роста L, таким образом, можно записать дифференциальное уравнение .

По такому же закону (закон естественного роста) размножаются и бактерии, и нейтроны в ядерных реакциях.

За триста лет существования дифференциального и интегрального исчислений появились многие тысячи дифференциальных уравнений. Однако замечательно то, что многие уравнения похожи друг на друга, например, последние три выше приведенные, т.е. совершенно разные процессы привели к одной и той же математической модели. В них скорость изменения искомой функции пропорциональна значению этой функции .

Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения. Методы решения разнообразны и зависят от вида этих уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида . Если постоянным придать конкретные числовые значения, то полученная функция будет называться частным решением.

Нахождение частного решения, удовлетворяющего начальному условию при , называется задачей Коши.

В том случае, когда уравнение не имеет элементарного решения, используют численные методы.

Решение уравнения (или ) хорошо известно: , где С – произвольная постоянная. При различных значениях С получается семейство кривых, которые все удовлетворяют заданному уравнению. Если в дополнение к дифференциальному уравнению задать значение у для некоторого значения x, то можно определить постоянную С. Например, предположим, что решение должно проходить через точку х=0, у=1, то есть у(0)=1. Легко найти, что С=1 и что из всего семейства кривых только одна удовлетворяет одновременно и уравнению и условию.

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Решение. Учитывая, что , перепишем уравнение в виде Разделим переменные Проинтегрируем обе части уравнения

Общее решение будет иметь вид