Операции на множествах

Объединением или суммой множеств A и B называется множество A  B = A + B = {x: x  A или x B}.

Пересечением или произведением множеств A и B называется множество A  B = A·B = AB = {x: x  A и x  B}.

Имеют место законы идемпотентности: A  A = A, A  A = A.

Разностью множеств B и A называется множество B\A = = B – A ={x: x B и x  A}. Если A  B, то разность множеств B\A называется дополнением множества A до множества B.

Для изображения операций на множествах используют диаграммы Венна или круги Эйлера, которыми пользовался еще Аристотель (рис. 1).

Над множествами вводятся «внешние» операции, результатами которых могут быть не только новые множества, но и новые математические объекты.

A   B

A   B

B \A

Рис. 1.

Если каждому элементу x Х по какому то правилу f поставлен в соответствие элемент у Y, то говорят, что задано отображение множества Х в множество Y.

В случае, когда множества Х и Y нечисловые, отображение называется оператором отображение нечислового множества Х в числовое множество Y – функционалом отображение числового множества Х в числовое множество Y – функцией.

Пусть D – произвольное множество действительных чисел. Если каждому числу x  D поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число f(х), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f. Множество D называется областью определения, а множество

E = { у R  у= f (х), x  D }

– множеством значений числовой функции f. Символически функция записывается в виде

f D  E или у = f (х).

Множества и отношения

В первом издании «Теории множеств» в 1939 году Бурбаки пишут: «Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящимися в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств».

Теория отношений удобный аппарат. Например, с его помощью понятие функции применяется не только к числовым множествам, но и к множествам объектов любой природы.

Отношение – множество упорядоченных пар, подмножество декартового произведения.

Отношения между парами объектов называются бинарными и обычно обозначаются буквой .

Рассмотрим общие свойства бинарных отношений.

Рефлексивность. Отношения, при которых каждый элемент множества связан этим отношением сам с собою

а  a.

Симметричность. Отношения, при которых из того, что элемент a связан с элементом b отношением , вытекает, что и элемент b так же связан этим же отношением с элементом a:

a  b → b  a.

Толерантность. Бинарные отношения называются толерантными, если они рефлексивны и симметричны. Два объекта считаются толерантными, если они обладают хотя бы одним общим признаком.

Транзитивность. Отношения, при которых из того, что элемент a связан с элементом b отношением , а элемент b в свою очередь связан с элементом c этим же отношением, вытекает, что элемент а связан с элементом с отношением 

a  b и b  c → a  c.

Эквивалентность. Бинарные отношения будут эквивалентными, если они обладают рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. Эквивалентность является понятием равенства. Эквивалентность – это совпадение элементов только по существенным признакам. Эквивалентность разбивает заданное множество на не пустые, не пересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.

Каждое из этих подмножеств состоит из эквивалентных между собой элементов и только из них. Эта операция называется факторизацией, а результат – фактор множествами.

Бинарные отношения можно задавать различными способами таблицами, стрелками, сечениями.

Отношения удобно представлять графически. Каждой упорядоченной паре отношения {x,у} соответствует точка на плоскости с координатами x,у. Если нанести все точки, то получится график отношения. Так график рефлексивного отношения будет содержать точки биссектрисы  и  квадрантов. График симметричного отношения будет симметричен относительно этой биссектрисы.