- •Фгбоу впо «Воронежский государственный технический университет» в.А. Шунина в.В. Пешков с.А. Кострюков элементы математического анализа, теории вероятности и статистики
- •Воронеж 2014
- • Шунина в.А., Пешков в.В., Кострюков с.А., 2014
- •Введение
- •1 Основhыe понятия математического анализа
- •1.1 Математика как часть общечеловеческой культуры. Основные этапы становления современной математики. Аксиоматический подход
- •Период элементарной математики
- •Период математики переменных величин
- •Период современной математики
- •1.2 Множества и подмножества. Операции над множествами. Мощность множества
- •Операции на множествах
- •Множества и отношения
- •Мощность множества
- •1.3 Множество действительных и комплексных чисел
- •1.4 Линейные пространства Rn. Векторы и операции над ними. Координаты вектора в заданном базисе
- •1.5 Понятие матрицы. Квадратные матрицы и их определители. Формулы крамера
- •Действия над матрицами
- •1.6 Топологические понятия. Последовательности. Предел и непрерывность функции
- •Арифметические свойства предела
- •1.7 Производная и дифференциал функции. Экстремум функции
- •Дифференциал
- •1.8 Первообразная, неопределенный и определенный интегралы. Формула ньютона – лейбница
- •Определенный интеграл и его свойства
- •1.9 Понятие о дифференциальных уравнениях. Задача коши
- •2 Элементарная теория вероятности
- •2.1 Предмет теории вероятности. Случайные события. Действия над случайными событиями.
- •Вероятностное пространство
- •2.2 Классическое определения вероятности. Комбинаторика
- •2.3 Статистическое определения вероятности. Частота и вероятность
- •2.4 Геометрическое определение вероятности
- •2.5 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий
- •Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей (вероятность произведения событий)
- •2.6 Формула полной вероятности
- •2.7 Формула Байеса
- •2.8 Схема испытаний Бернулли
- •2.9 Понятие случайной величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •2.10 Основные законы распределения дискретных случайных величин
- •2.11 Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •2.12 Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение
- •2.13 Зависимость двух случайных величин. Коэффициент корреляции
- •2.14 Предельные теоремы теории вероятностей
- •3 Основы математической статистики
- •3.1 Предмет математической статистики. Генеральная и выборочные совокупности
- •3.2 Эмпирическое распределение. Точечные оценки параметров распределения генеральной совокупности
- •3.3 Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
- •3.4 Проверка статистических гипотез. Проверка гипотез о законе распределения
- •4 Принципы построения математических моделей
- •5 Исследование операций и принятие решений
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.7 Производная и дифференциал функции. Экстремум функции
Источником дифференциального исчисления были две проблемы:
1. О нахождении касательной к произвольной линии;
2. О нахождении скорости при произвольном законе движения.
Обе они привели к одной и той же вычислительной задаче. Она состоит в том, чтобы по данной функции f(x) отыскать другую функцию f(x), представляющую скорость изменения функции f(x) относительно изменения аргумента. В таком общем виде задача была поставлена в XVII веке Ньютоном и Лейбницем. Они ввели символику, развили аппарат дифференциального исчисления и применили его к решению многих задач геометрии и механики.
Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю.
Итак, по определению
.
Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения, например: y, yx .
Производная имеет следующие механический и геометрический смыслы.
– скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t0 есть производная от пути по времени .
– угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 равен значению производной этой функции в точке x0: .
Значит уравнение касательной к графику y=f(x) в точке имеет вид
.
Нормалью в точке к линии называется перпендикуляр к касательной в точке М0. Ее уравнение имеет вид
,
так как угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной условием перпендикулярности
.
Для одной и той же функции y=f(x) производную можно вычислять в различных точках.
Функция y=f(x), имеющая конечную производную в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.
Справедлива следующая теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
Теорема: если функция y=f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми, например функция .
Пример 6. Найти производную функции .
Решение.
Производные высших порядков
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале . Тогда ее производная является функцией от х. Пусть эта производная также имеет производную. Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции f(x). Она обозначается символом или .
Вообще, производной n-го порядка функции y=f(x) называется первая производная от производной (n–1) порядка
.
Механический смысл второй производной: ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути по времени.
Правила Лопиталя. Понятие производной применимо для раскрытия неопределенностей типа или .
Правило 1. Пусть , (или ). Тогда, если существует предел отношения производных (или ), то существует предел отношения функций, и эти пределы равны между собой, т.е.
(или ).
Правило 2. Пусть (или ).
Тогда, если существует предел отношения производных (или ), то существует предел отношения функций, и они равны между собой, т.е.
(или ).