4 Принципы построения математических моделей

Основная цель и задача современной математики, по-видимому, состоит в реализации универсального математического метода познания. Это предполагает в первую очередь построение новых математических моделей в биологии, мироздании, микромире, в экономических и социальных явлениях.

В сравнении с натуральным экспериментом математическое моделирование имеет следующие преимущества:

• экономичность;

• возможность моделирования гипотетических, то есть не реализованных в натуре объектов;

• возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроизводимых (критический режим ядерных реакторов и др.);

• возможность изменения масштабов времени;

• легкость многоаспектного анализа;

• большая прогностическая сила.

Постановка задачи (по Минскому): объект А является моделью объекта В, если наблюдатель с помощью А получает интересующие его сведения относительно В.

Модель концентрирует в себе записанную на определенном языке (естественном, алгоритмическом, математическом) совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте или явлении.

Модель лишь приближенно описывает поведение реальной системы, так как знания не бывают абсолютными, а гипотезы вынужденно или намеренно не учитывают некоторые эффекты.

С. Балтеру принадлежит высказывание: «Хотя аналогия часто вводит в заблуждение, это наименьшее из того, что вводит нас в заблуждение».

Это мысль подтверждается важнейшей особенностью модели, которая состоит в том, что знания об объекте можно неограниченно накапливать и при этом не терять целостного взгляда на него.

При исследовании сложных систем может потребоваться набор моделей, соответствующих различным уровням рассмотрения.

«Полная» модель будет полностью соответствовать оригиналу в смысле, что «наилучшей моделью кота является тот же самый кот».

Адекватность модели устанавливается проверкой для нее основных законов и сопоставлением результатов моделирования частных вариантов с известными для этих вариантов решениями (тестирование).

Модель всегда содержит параметры. Задачей идентификации является определение значений рабочих параметров модели. Они определяются в результате наблюдения над реальной системой. Решается задача по минимизации функционала отклонения траектории модели от траектории исследуемой системы. Традиционно применяются метод наименьших квадратов и наибольшего правдоподобия. Выявление значимых параметров и пренебрежение остальными позволяет уменьшить их число. Для этого считают коэффициенты чувствительности (регрессии) выходных показателей по отношению к входным.

При классификации методов моделирования и моделей различают аналитические, имитационные и комбинированные модели.

В аналитическом моделировании функционирование системы записывают в виде алгебраических, интегральных, дифференциальных и других соотношениях и логических условий.

Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

а) качественным, когда устанавливаются лишь некоторые свойства решения

б) аналитическим, когда стремятся получить явные зависимости для искомых характеристик

в) численным, когда получают числовые значения для заданных входных данных.

Математическая модель может использоваться традиционным способом, т.е. для получения какого-то частного решения, но и в сфере управления она успешно применяется для имитационного моделирования.

При имитационном моделировании алгоритм, реализующий модель, воспроизводит процесс функционирования системы во времени и в пространстве. Имитационное моделирование применимо к задачам, не поддающимся аналитическим и численным методам. Его иногда называют статистическим, поскольку заключительная обработка результатов выполняется методами математической статистики.

Имитационное моделирование позволяет оценить различные стратегии, обеспечивающие достижение цели данной системы.

Итак, модель нужна для того, чтобы:

• понять, как устроен конкретный объект (его структура, свойства, законы развития);

• определять наилучшие способы управления объектом или процессом при заданных целях и критериях;

• прогнозировать последствия воздействия на объект.