2.8 Схема испытаний Бернулли
Пусть в результате некоторого случайного испытания может произойти или не произойти определенное событие А. Испытание повторяется n раз. При этом соблюдаются условия вероятность успеха Р(А) = р в каждом испытании одна и та же результат любого испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний.
Такая последовательность испытаний с двумя исходами (успех/неудача) называется последовательностью независимых испытаний Бернулли или схемой Бернулли.
Вероятность k успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле Бернулли
Здесь
– число сочетаний из n
по k
.
В практических задачах часто приходится
вычислять вероятности различных событий,
связанных с числом успехов в n
испытаниях при больших значениях n.
В этих случаях вычисления по формуле
Бернулли становятся затруднительными.
В отдельных случаях при больших n
удается заменить формулу Бернулли
приближенными формулами. Такие формулы,
которые получаются при условии
называются асимптотическими.
Если n достаточно велико, а p – величина очень малая, для формулы Бернулли имеет место приближенная (асимптотическая) формула
.
Здесь
(
– греческая буква "лямбда"). Эта
формула называется формулой Пуассона.
По формуле Пуассона вычисляются вероятности числа появлений очень редких событий в массовых испытаниях.
2.9 Понятие случайной величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Часто результатом случайного эксперимента является число. Например, можно подбросить игральную кость и получить одно из чисел: 1,2,3,4,5,6. Можно подъехать к бензоколонке и обнаружить определённое число автомашин в очереди и т.д. В таких случаях будем говорить, что имеем дело со случайной величиной.
Каждому исходу случайного эксперимента поставим в соответствие единственное число xk – значение случайной величины. Тогда естественно рассматривать случайную величину как функцию, заданную на множестве исходов случайного эксперимента.
Случайная величина, которая может принимать лишь конечное или счётное число значений, называется дискретной.
Значения случайной величины (или X) будем записывать в виде конечной или бесконечной последовательности: x1, x2,, xn,
Если говорится, что задана случайная величина , это значит, что каждому исходу k случайного эксперимента поставлено в соответствие единственное число xk, что записывается в виде равенства xk = (k). Некоторые из значений xk могут совпадать, то есть различным исходам {k} может соответствовать одно и то же число x. Если все значения случайной величины совпадают, то будем говорить, что случайная величина постоянна.
Каждому значению xk случайной величины можно поставить в соответствие вероятность рk = P(Ak) события Аk. Если такое соответствие определено, то говорят, что задан закон распределения дискретной случайной величины .
Обычно закон распределения дискретной случайной величины представляется в виде таблицы
|
х1 |
х2 |
х3 |
… |
хn |
P |
p1 |
p2 |
p3 |
|
рn |
Закон распределения содержит всю информацию о случайной величине и задать случайную величину можно просто представив её закон распределения.
Во многих случаях на практике знание вероятностей не обязательно. Достаточно знать две наиболее важные характеристики случайной величины – ее математическое ожидание и дисперсию.