Тройной интеграл в сферических координатах

Если границы области интегрирования V удобно задавать в сферических координатах (см. приложение), то тройной интеграл преобразуется по формуле:

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz =

V

= ∫∫∫ f (r cosϕsin θ, r sin ϕsin θ, r cos θ)r2 sin θdϕdθdr ,

V ′

где r ≥ 0 , 0 ≤ ϕ≤ 2π и 0 ≤ θ≤ π, сферический радиус, полярный угол и азимутальный угол соответственно.

Решение задачи 3.3

Уравнение сферы x2 + y2 + z2 = a2 в сферических координатах имеет вид: r = a .

Уравнение конической поверхности x2 + y2 = z2 в сферических координатах имеет вид:

r2 sin2 θ(cos2 ϕ + sin2 ϕ)= r2 cos2 θ, или sin2 θ = cos2 θ , tg2 θ =1, tg θ = ±1 .

Решим последние уравнения относительно азимутального угла

18

Вид области Ω показан на рисунке 12. В сферической системе координат эту область можно задать неравенствами:

V = ∫∫∫1 dV

Ω

Тройной интеграл запишется в сферических координатах в виде:

V= ∫∫∫1dV = ∫∫∫r2 sin θdr dϕdθ =

ΩΩ

19