Тема 6.2. Теория поля

Скалярное поле

Задача 7.1

Задача 7.2

Найти направление наискорейшего возрастания поля u = xy + zy

в точке M (1; 2; 1) и наибольшую скорость возрастания в этой точке.

Задача 7.3

Найти производную скалярного поля u = x2 + y2 + z2 в точке

M (1; 1; 1) по направлению вектора l = 2i + j + 2k .

Справочный материал

Точки области D , в которых скалярное поле

постоянное значение C , называется поверхностями уровня. Уравнение поверхностей уровня имеет вид:

u(x; y; z)= C ,

ЗАМЕЧАНИЕ

Если область D - множество точек плоскости, то скалярное поле является плоским. Оно задается функцией двух

переменных u =u(x; y). Для плоского поля определены линии уровня, заданные уравнениями u(x; y)=C , где C = const .

34

Градиент скалярного поля u(x; y; z) - это вектор, координатами

которого являются частные производные поля по переменным

x, y, z .

grad u = ∂∂ux ir + ∂∂uy rj + ∂∂uz kr.

1. Градиент показывает направление наибольшего возрастания поля в данной точке.

2. Модуль градиента равен наибольшей скорости возрастания поля в данной точке.

3. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Производная скалярного поля u = u(x; y; z) в точке M (x; y; z)

по направлению l вычисляется по формуле

∂∂ul = ∂∂ux (M )cosα+ ∂∂uy (M )cosβ+ ∂∂uz (M )cos γ ,

где cosα, cosβ , cos γ - направляющие косинусы вектора l .

ЗАМЕЧАНИЕ 1

∂u

Производная по направлению ∂l равна скорости изменения поля в направлении вектора l .

Если ∂∂ul > 0 , то поле возрастает в направлении вектора l , а

если ∂∂ul < 0 , то поле в этом направлении убывает.

Производная скалярного поля ∂∂ul в точке M (x; y; z) по

направлению l можно вычислить и через градиент этого поля по формуле