Вариант 12

4

2x2

1.

∫dx ∫ f (x, y)dy .

1

x2

L : x = 0 (x ≥ 0);

2.

L : x2 +( y −1)2 =1;

L : x2

+ y2

= 4 y ;

1

2

3

8.

ar = (x + y)i + xy j ; L : y2 − x + 2 = 0 , M (3, 1), N(2, 0).

9.

ar = 3x ir − z j ,

S : x2 + y2 = 4 ,

P : z = 0 ,

P : z =2,

1

2

P3 : y = 0, ( y ≥ 0) .

r

r

r

2

r

2

+ z

2

=1

10.

= 2 y i

−3z j + x

k , Γ:

x

.

a

=1

x

−

y

r

r

xy

r

11.

ar

= e z

( i +

x

j

−

k ) .

z

z2

3

2

y

4

1+

4−y

1.

∫dy

3∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx .

0

0

3

1−

4−y

2.

L : (x2 + y2 )2

= a2 (x2

− y2 ) ;

L : y = 0 ;

(x > 0, y > 0);

1

2

δ(x, y) = x2 − y2 .

3.

S : x2 + y2 + z2

= a2 .

S

2

: y = x

S

3

: x = 0, (x ≥ 0) ,

1

4.

S : x2

+ y2

= (z −1)2;

S

2

: z = 0 , ось OZ .

1

однородной

части

кривой

y = 2 x , 0 ≤ x ≤1 , находящейся в

верхней полуплоскости.

6.

Найти

массу

параболической

оболочки

z =

1 (x2 + y2 ), (0 ≤ z ≤1),

плотность

которой меняется

по закону

2

δ(x, y, z)= z .

3

U (x, y, z)= (x2 + y2 + z2 )

,

S : 2x2 − y2 + z2 −1 = 0 .

7.

2

M (0;−3;4) .

8.

ar = (x2 + 2xy) ir + (x2 + y2 )rj , L : y = x2 , M (0, 0), N(1, 1 ).

9.

ar = 3x i − y j − z k , S : 9−z=x2

+y2; S : z=0.

1

2

10.

r

r

r

x = 2 cos t; y = 2sin t

.

a = −x2 y3i + 4 j + xk

, Γ:

z = 4

11.

ar =

xi + yj + zk .

x2 + y2 + z2

Вариант 14

1

y

2

2−y2

1.

∫dy ∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx .

0

0

1

0

2.

L :

x2 + y2

= Rx ; L : y = 0, ( y > 0) ;

1

2

4.

S

:

x2

+ y2 + z2

=1;

S

2

:

x2 + y2 = 1 z2 ; ось OZ .

1

3

5.

Вычислить массу

дуги

линии

x = t, y =

t2

, z =

t3

от точки

2

3

1

,

1

2,

2,

2

2

, если плотность в каждой ее

A 1,

до точки B

2

3

3

точке равна δ(x, y, z)=

y

.

3 − z

6.

Найти

площадь

участка

поверхности

x2 + y2 + z2 = 4 ,

вырезанной цилиндром x2 + y2 = 2 y .

7.

U (x, y, z)= ln(1 + x2 + y2 ) −

x2 + z2 ,

M (3, 0, − 4)

S : x2 −6x +9 y2 + z2 = 4z +4 .

8.

r

r

r

L :

x = t ,

y =t2 ,

z = t3 .

ar=(y2 −z2)i

+2yz j −x2k ,

M (0; 0; 0) ,

N(1;1;1) .

9.

ar = x ir + y rj −(1 − z)k , S : x2 +y2 =z2; S : z =5.

1

2

r

2

r

2

r

2

r

2

+z

2

=1− y

10.

= y

i

− x

j + z

x

≥0) .

a

k , Γ:

; (y

y

=0

r

r

r

11.

+ y2

ar = x2 i

j + z2 k .

a

2ax∫−x2f (x, y)dy .

1.

2∫dx

0

a−

a

2

−x

2

2.

L : (x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ) ,

δ(x, y) = a2 −x2 −y2 .

(x > 0, y > 0).

3.

S1 : x2 +y2 +z2 −2z =0; S2 : x2 +y2 =2−z.

4.

S1 : x2 +y2 +z2 =a2;

S2 : x2 + y2 + z2 = b2 ;

S3 : z = 0 ;

z ≥ 0 , 0 < a <b ; ось OZ .

5.

Найти

массу контура

правого

лепестка

лемнискаты

ρ2 = a2 cos2ϕ

,

если

плотность

в

каждой

его

точке

равна

δ(x, y)= x + y .

6.

Вычислить момент инерции полусферы

z =

R2 − x2 − y2

относительно плоскости YOZ, если плотность в каждой точке равна

δ(x, y, z)= y2 .

7.

U (x, y, z)= (x2 + y2 + z2 )

32 , M (1; 1; 1) , l

= i − j + k .

8.

ar = xy ir + (x2 − y2 ) j , L : y = x , M (1, 1), N(4, 2).

9.

ar = 2x i + 2 y j − (2z −1) k ,

S : x2 + y2 =1−2z ,

x ≥ 0 ,

y ≥ 0 , z ≥ 0 .

r

2

+ y

2

− z

2

= 0

10.

i

+

j − 2 yz k , Γ:

x

.

a = 2 y

= 2

z