Решение задачи 7.1
Поверхность |
S , |
проходящую |
через точку |
M (1; 1; 1) , |
можно |
рассматривать |
как |
поверхность |
уровня |
скалярного |
поля |
v(x, y, z)= 2x2 + y2 −2z2 −1 . По |
нормали к |
ней направлен |
|||
grad v ={4x, 2 y, −4z}, вычисленный в точке M , т.е. вектор grad v(M )={4, 2, −4}.
Вычислим градиент поля u(х, у, z) в точке M (1; 1; 1) . Получим grad u ={8x −3yz, 2 y −3xz, −2z −3xy},
grad u(M )={5, −1, −5}.
Для производной |
|
∂u |
скалярного поля |
u(x, y, z) по нормали |
|||||||
|
|
∂n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = grad v(M ) к поверхности S используем формулу |
|
||||||||||
∂u = Прnrgrad u(M ) |
= |
|
(grad u(M ), grad v(M )) |
= 4 5 −2 1+4 5 |
= |
||||||
|
|
|
grad v(M ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
∂n |
|
|
|
|
|
|
|
42 + 22 +(−4)2 |
|
||
|
|
|
20 −2 +20 |
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
= 38 |
= 19 . |
|
||||||
|
|
16 +4 +16 |
6 |
3 |
|
|
|||||
Решение задачи 7.2
Направление наискорейшего возрастания поля в данной точке показывает градиент, вычисленный в этой точке.
|
∂u r |
|
∂u r |
|
∂u r |
r |
|
|
|
|
z |
r |
|
1 |
r |
|||||||||
grad u = |
|
i |
+ |
|
|
|
j + |
|
|
k |
= yi |
+ |
x − |
|
|
|
|
j |
+ |
|
k . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
|
|
|
1 |
|
r |
|
|
1 r |
r |
|
|
3 r |
|
|
1 r |
|
|
|
||||
grad u(M )= 2i + |
1 − |
|
|
j |
+ |
|
k |
= 2i |
+ |
|
|
j |
+ |
|
|
k . |
|
|
||||||
4 |
|
2 |
4 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Наибольшая скорость возрастания поля в данной точке равна модулю градиента, вычисленного в этой точке.
V |
= grad u(M ) = 4 + 9 |
+ 1 |
= |
64 + 9 + 4 = |
77 . |
наиб. |
16 |
4 |
|
16 |
4 |
|
|
||||
|
36 |
|
|
|
|