Вариант 24
|
a a+ |
a2 +x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
∫dx |
|
∫ f (x, y)dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
2ax−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
S : y + z = 2, S |
2 |
: y = x2 |
, S |
3 |
: z =0 . |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
S : x2 |
+ y2 + z2 = R2; S |
2 |
: y = 1 x; S |
3 |
: y = 3x . |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.S1 : x2 + y2 = 2z; S2 : x2 + y2 = 3 − z ; P : z = 0 .
5.Вычислить момент инерции относительно начала координат
|
x = 2 (cost +t sin t) |
(0 ≤ t ≤ 2π). |
|
|
участка однородной линии |
, |
|
||
|
y = 2 (sin t −t cost) |
|
|
|
6. |
Найти площадь участка |
поверхности |
x2 =2pz , |
при |
0 < x <2, x < y <2x . |
|
|
|
|
7.U (x, y, z)= xy + 
9 − z2 , M (1; 1; 0) , l =−2ir+2rj −k .
8. |
ar = ( x + y) i + (2x − y) j , L : y = x2 −1 , M (1, 0) , N(2, 3). |
||
9. |
ar=2yzi −y2 j +(y2 +z2 )k, S : y2 |
+z2 |
=x2 , (x ≥0); |
|
1 |
|
|
S2 : x =1 .
10. |
ar = (x + y)2 ir + (x2 + y2 )rj , Γ: контур треугольника OAB , |
O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) . |
|
11. |
ar =(2x +3y)i +(3x −4y)j . |
78
Вариант 25
|
5 |
9−(x−4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∫dx |
∫ f (x, y)dy . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
x+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
S : z = x2 , |
S |
2 |
: z = 0 , |
S |
3 |
: x + y = 2 , |
S |
4 |
: y = 0 , |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
S5 : x = 0 , (x > 0) .
3.S1 : x2 + y2 + z2 = a2 , S2 : z =−
x2 + y2 , (вне конуса).
4. |
S : x2 |
+ y2 +z2 |
= R2; S : x2 |
+ y2 |
=r2 |
(r < R); S : z =0 . |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
5.Вычислить массу контура x2 + y2 = 4x , если плотность в
каждой его точке равна расстоянию точки до начала координат.
6. Вычислить момент инерции однородной сферической поверхности радиуса а относительно ее диаметра.
7. |
U (x, y, z)= 2 |
x + y + y arctg z , |
M (3; − 2; 1) , l =4ir−3k . |
||||||||||||
8. |
ar = (x + y)i +(2x − y)j , |
|
L : |
|
ломаная MKN , |
|
M (− 2, 2), |
||||||||
K (−1, 2), N(0, 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
ar = −2x i + z j +( x + y) k , |
|
S : x2 + y2 +z2 =16, |
S |
2 |
: x = 0 , |
|||||||||
(x ≥ 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
2 |
|
3 |
r |
r |
r |
|
2 |
+ y |
2 |
=16 |
|
|
|
10. |
y |
i |
+ j |
+ z k |
x |
|
|
|
|
|
|||||
a = x |
|
|
, Γ: |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||
11.ar=6xyir+(3x2 −2y)rj .
79
Вариант 26
|
2a |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∫ dx ∫ f (x, y)dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
2ax−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
S : x2 |
+ y2 = z; S |
2 |
: z =0; S |
3 |
: y = x2; S |
4 |
: y =1. |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
S : x2 |
+ y2 +z2 =4z; S |
2 |
: z =3, (z ≥3) . |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
S : x2 |
+ y2 + z2 ≤ 4; S |
2 |
: x2 + y2 + z2 ≥1; S |
3 |
: z = 0 . |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.Вычислить длину дуги цепной линии y = a ch ax при 0 < x < a .
6.Найти координаты центра тяжести однородного сферического
сегмента x2 + y2 + z2 =16 при 3 ≤ z ≤ 4 .
7. |
U (x, y, z)= x2 y + xz2 − 2 |
|
|
r |
= MN , N(2, −1, 3). |
||||||
, M (1, 1, −1), l |
|||||||||||
8. |
ar=(x2 +y2)ir+(x2 −y2) rj , |
L : |
|
ломаная |
MKN , |
M (−2, 0), |
|||||
K (−1, 1), N(0, −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
ar = y i +5y j + z k , |
S : x2 + y2 =1 , |
S |
2 |
: x = z |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
S3 : z =0, (z ≥0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
r |
r |
r |
x + y =−1 |
|
. |
|
|
|
|
|
a |
= y2i |
− x2 j |
, Γ: |
y = |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x =0; |
|
|
|
|
|
||
11. |
ar=(yz+1)i +xz j +xyk . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
80
Вариант 27
7
1. ∫dy
1
y−1
∫f (x, y)dx .
12 (y−1)
2. |
S : z = x + y; S |
2 |
: y2 = x; S |
3 |
: y2 = 2 − x; S |
4 |
: z =0. |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
S : x2 |
+ y2 + z2 |
= 2z; S |
2 |
: x2 |
+ y2 = z2 |
(внутри конуса). |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
S : x2 |
+ y2 + z2 = R2 , S |
2 |
: x2 + y2 + z2 = r2 , (r < R); |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
S3 : x2 + y2 = z2 , (z ≥ 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти |
координаты центра |
|
тяжести однородной кардиоиды |
|||||||||||||
|
ρ = a (1+cos φ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти |
площадь |
поверхности |
|
сферы |
x2 + y2 + z2 = a2 , |
||||||||||
|
заключенной внутри конуса x2 + y2 = z2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
U (x, y, z)= xey + yex − z2 , |
|
M (3, 0, 2), l |
вектор |
|
|
||||||||||
|
MN . |
|||||||||||||||
|
N(4, 1, 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
ar = −y ir+ x j , |
|
|
|
|
|
|
|
L : |
|
|
ломаная |
||||
|
MKN : |
M (0, 0); |
|
K(1, 0); |
N(1, 2). |
|
|
|
|
|
||||||
9.ar = 2x ir −4 y rj + z k , S : x = y2 + z2 ,
10.ar = (x + y)i +(y − x)j по контуру Γ:
11.ar = (2xy + z)ir+(x2 −2 y)rj + x kr.
P : x =1. |
|
|
|
|
x + y =1 |
. |
|
|
|
y = 0 |
|
x = 0; |
|
||
81