Задача 11

Проверьте потенциальность поля ar = yzi + xzj + xyk . Найдите его потенциал и вычислите работу поля a при перемещении точки

из M в N , если M (1;−2;3); N(2;−1;−2).

Справочный материал

Векторное поле a называется потенциальным, если существует скалярная функция u(x; y; z), такая, что a = grad u .

Функция u(x; y; z) при этом называется потенциалом поля.

Для того, чтобы поле вектора a было потенциально, необходимо и достаточно, чтобы rot a = 0 .

Потенциал поля в произвольной точке M (x, y, z) вычисляется

через криволинейный интеграл второго рода по формуле

u(M )= u(x, y, z)= ∫(ar, drr)+С ,

AM

где A - любая точка, лежащая в области непрерывности поля. Поскольку в потенциальном поле криволинейный интеграл

второго рода не зависит от пути интегрирования, то путь интегрирования AM может быть выбран любым. Удобнее всего вести интегрирование вдоль ломаной с отрезками, параллельными координатным осям.

Если поле определено в начале координат, то его задают в качестве начальной точки A .

Работа потенциального поля на пути AB равна разности потенциалов в конечной и начальной точках, т.е.

A = ∫ax dx + ay dy + az dz = u(B)− u(A).

AB

Решение задачи 11

Поле потенциально, если его ротор равен нулю.

52