проектировать в

плоскость xOz или yOz , справедливы

аналогичные формулы

∫∫ f (x, y, z) dσ = ∫∫ f (x, y(x, z), z) 1+(y′x )2 +(y′z )2 dxdz ,

σ

D

где y = y(x, z)

- уравнение поверхности σ, область D –

ее

проекция в координатную плоскость xOz .

∫∫ f (x, y, z) dσ = ∫∫ f (x(y, z), y, z) 1+(x′y )2 +(x′z )2 dydz ,

σ

D

где x = x(y, z)

- уравнение поверхности σ, область D –

ее

y′x =

2x

=

x

и y′z =

2z

=

z

,

2 x2

+ z2

x2 + z2

2 x2 + z2

x2

+ z2

получим

I y = ∫∫(x2 + z2 )

x

2

x

2

dxdz =

1+

+

D

x

2

+ z2

x2 + z2

= ∫∫(x2 + z2 ) 1 +

x2

+

x2

dxdz =

D

x2 + z2

x2 + z2

= ∫∫(x2 + z2 )

2x2 +2z2 dxdz =

∫∫(x2 + z2 )

2dxdz .

D

x2 + z2

D

Областью интегрирования D является круг (рис. 17). Поэтому

удобно перейти к полярным координатам.

2π

2

ρ4

2

= 8 2π .

I y = 2 ∫∫ρ2 ρdϕdρ = 2 ∫dϕ∫ρ3dρ = 2 2π

4

0

D

0

0

2

2

2

Рассмотрим

систему

x

+ y

+ z

= 2

и

подставим

x2 + y2

= z

x2 + y2 = z в

первое уравнение.

Тогда

получим

уравнение

z2 + z −2 = 0 , из которого следует, что

z = −2 и

z =1. Поскольку на

поверхностей, подставим

z =1 в уравнение

x2 + y2 = z . Получим

уравнение окружности

x2 + y2 =1 (рис.

18). Следовательно,

z′x =

− x

,

z′x =

− y

,

2 − x2 − y2

2 − x2 − y2

получим

− x

2

− y

2

S = ∫∫

dxdy =

1 +

2

2

+

2

2

D

2

− x

− y

2 − x

− y

= ∫∫

1+

x2

+

y2

dxdy = ∫∫

2

dxdy =

− x2 − y2

− x2 − y2

2 − x2 − y2

D

2

2

D

=

2 ∫∫

1

dxdy .

2 − x

2 − y

D

2

В двойном интеграле по области

D

(рис.

18) перейдем к

полярным координатам. Получим

S = 2 ∫∫

1

2π

1

ρ

dρ =

−ρ2

ρdϕdρ = 2

∫dϕ∫

D 2

0 0 2 −ρ2

2π 1 d (2

−ρ2 )

= −

2 2π

2 −ρ

2

1

=

= − 2 ∫dϕ∫

2 −ρ

2

0

0

0 2

= −2 2 2π(1− 2 )= 4 2π( 2 −1).

Решение задачи 6.3

Масса участка поверхности σ с плотностью

δ(x, y)= x2 + y2

вычисляется по формуле

m = ∫∫(x2 + y2 )dσ.

σ

Поверхность σ, заданная уравнением

z = x2 + y2

пересекается

плоскостью z =3 по окружности

x2 + y2 =3 .

Поэтому участок этой

поверхности,

ограниченный

плоскостями

x = 0 ,

y = 0 , z =3 ,

32

радиусом

3 (рис.19).

Поскольку

z′x = 2x , z′y = 2 y ,

то

поверхностный

интеграл

сводится к двойному интегралу

m = ∫∫(x2 + y2 )

1 + 4x2 + 4 y2 dxdy ,

D

в котором область интегрирования

D -

проекция

σ в плоскость

xOy (рис.

19).

Перейдем

в

двойном

интеграле к

полярным

координатам.

π

3

m = ∫∫ρ2 1 + 4ρ2 ρdϕdρ =

2

∫dϕ ∫ ρ2 1 + 4ρ2 ρdρ =

D

0

0

3

= 2π ∫ ρ2 1 + 4ρ2 ρdρ.

0

Сделаем

в

последнем

интеграле

замену 1 + 4ρ2 = t2 , и

выразим ρ2 =

1

t2

−

1

, 8ρdρ = 2tdt

ρdρ =

1

tdt . Пределами

4

4

4

интеграции для новой переменной t

будут t1 =1 и t2 =

13 .

m = 2π ∫13 (

1

t2 −

1

)t

1

tdt =

π

∫13 (t4 − t2 )dt =

4

4

4

8

1

1

=

π t5

−

t3

13

=

π

169

13

−

13

13

−

1

+

1

=

8

5 3

1

8

5

3

5 3

π

169

13

13

13

1

1

π

(221

3 +1).

=

−

−

+

8

5

3

5

3

=

60