Справочный материал
Циркуляцией векторного поля a называется криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой l . Для циркуляции используется обозначение C = ∫(ar, drr). Замкнутую кривую l при l
этом называют замкнутым контуром.
Теорема Стокса
Если в области D трехмерного пространства задано векторное поле
ar = ax (x, y, z)i + ay (x, y, z)j + az (x, y, z)k
и функции ax (x; y; z), a y (x; y; z) и az (x; y; z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, то
C = 
∫(ar, dr)= ∫∫(rot ar, nr)dσ.
|
|
|
|
|
|
L |
|
σ |
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
r |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
где: rot a |
= |
|
|
|
|
|
|
- ротор векторного поля; а σ – любая |
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
||||
|
|
a x |
a y |
az |
|
|
||
поверхность, натянутая на контур L ; нормаль n выбирается так, чтобы относительно нее обход контура был положительным.
Решение задачи 10
1. Вычислим циркуляцию C = ∫(x2 − y)dx + xdy +1 dz , задавая
Γ
контур Γ (рис. 23) параметрическими уравнениями:
x = cos t |
dx = −sin t dt |
|
|
|
≤ t ≤ 2π . |
Γ : y = sin t |
, dy = cos t dt , 0 |
|
|
|
|
z =1 |
dz = 0 |
|
50
z
Γ σ
y
x
Рис. 23.
Тогда циркуляцию векторного поля можно записать в виде
определенного интеграла
C = 2∫π((cos2 t −sin t)(−sin t)+ cost cost + 0)dt =
0
= 2∫π(cos2 t(−sin t)+sin2 t +cos2 t)dt =2∫π(cos2 t(−sin t)+1)dt =
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t |
|
2π +2π = 2π . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ∫cos2 t d (cost)+2π = cos |
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Вычислим циркуляцию, используя теорему Стокса: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C = ∫∫(rot ar,nr)dσ, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
где σ - круг радиуса 1, лежащий в плоскости z =1. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
i |
j |
|
k |
r |
|
|
|
|
r |
r |
r |
||
r |
|
|
∂ |
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
||||||
rot a |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= i |
(0 −0) |
− j(0 |
−0)+ k (1 |
+1)= 2k . |
|||
|
∂x |
∂y |
|
∂z |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 − y |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку единичной нормалью, со стороны которой обход |
||||||||||||||||
контура положительный, |
к поверхности |
z =1 является вектор k , то |
||||||||||||||
(rot ar, nr)= (2k , k )= 2 . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
C = ∫∫2dσ = 2Sкруга = 2π .
σ
51