- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2
- •Тема 6.1. Интегрирование функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 1.1
- •Решение задачи 1.2
- •Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Справочный материал
- •Механический смысл двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •Решение задачи 2.1
- •Решение задачи 2.2
- •Тройной интеграл
- •Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 3.1
- •Решение задачи 3.2
- •Тройной интеграл в сферических координатах
- •Решение задачи 3.3
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 4.1
- •Решение задачи 4.2
- •Решение задачи 4.3.
- •Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 5.1
- •Решение задачи 5.2
- •Решение задачи 5.3
- •Задача 6.1
- •Задача 6.2
- •Задача 6.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 6.1
- •Решение задачи 6.2
- •Решение задачи 6.3
- •Тема 6.2. Теория поля
- •Скалярное поле
- •Задача 7.1
- •Задача 7.2
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 7.1
- •Решение задачи 7.2
- •Решение задачи 7.3
- •Векторное поле
- •Задача 8.1
- •Задача 8.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 8.1
- •Решение задачи 8.2
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Теорема Стокса
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задания к типовым расчетам
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Полярная система координат
- •Эллиптические координаты
- •Сферическая система координат
- •Обобщенно эллиптические координаты
- •Механические приложения интегралов функций нескольких переменных
- •Механические приложения двойных интегралов
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения тройного интеграла
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения криволинейного интеграла первого рода
- •Статические моменты дуги
- •Координаты центра тяжести дуги
- •Моменты инерции дуги
- •Механические приложения поверхностного интеграла первого рода
- •Статические моменты участка поверхности
- •Моменты инерции участка поверхности
|
|
P |
|
= 27 2π = 27π . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь вычислим |
потоки |
P2 |
и P3 |
через плоскости |
y = 0 |
и |
||||||||||
y = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 = ∫∫(ar,nr2 )dσ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
0 |
|
|
r |
r |
|
|
|
||
Поскольку σ2 : y = 0 , |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||
n2 |
= − j |
= |
−1 |
(a |
, n2 )= −y = 0 , то |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 = ∫∫0 dσ = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P3 = ∫∫(ar,nr3 )dσ . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
σ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
0 |
|
|
r |
r |
|
|
|
|
Поскольку σ3 : y = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
3 , n3 = |
j = |
|
, |
(a, n3 )= y = 3 , то |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P3 = ∫∫3 dσ = 3 ∫∫dσ = 3 Sкруга = 3 9π = 27π. |
|
|
|
|||||||||||||
σ3 |
|
|
|
σ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Складывая все потоки, получим поток через замкнутую |
||||||||||||||||
поверхность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = P1 + P2 + P3 = 27π + 27π =54π. |
|
|
|
|||||||||||||
Задача 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
r |
Найдите циркуляцию |
|
|
векторного |
|
поля |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ar = (x2 − y)i |
+ xj |
+ k |
||||||||||
|
2 |
+ y |
2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вдоль контура Γ : x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
49