- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2
- •Тема 6.1. Интегрирование функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 1.1
- •Решение задачи 1.2
- •Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Справочный материал
- •Механический смысл двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •Решение задачи 2.1
- •Решение задачи 2.2
- •Тройной интеграл
- •Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 3.1
- •Решение задачи 3.2
- •Тройной интеграл в сферических координатах
- •Решение задачи 3.3
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 4.1
- •Решение задачи 4.2
- •Решение задачи 4.3.
- •Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 5.1
- •Решение задачи 5.2
- •Решение задачи 5.3
- •Задача 6.1
- •Задача 6.2
- •Задача 6.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 6.1
- •Решение задачи 6.2
- •Решение задачи 6.3
- •Тема 6.2. Теория поля
- •Скалярное поле
- •Задача 7.1
- •Задача 7.2
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 7.1
- •Решение задачи 7.2
- •Решение задачи 7.3
- •Векторное поле
- •Задача 8.1
- •Задача 8.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 8.1
- •Решение задачи 8.2
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Теорема Стокса
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задания к типовым расчетам
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Полярная система координат
- •Эллиптические координаты
- •Сферическая система координат
- •Обобщенно эллиптические координаты
- •Механические приложения интегралов функций нескольких переменных
- •Механические приложения двойных интегралов
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения тройного интеграла
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения криволинейного интеграла первого рода
- •Статические моменты дуги
- •Координаты центра тяжести дуги
- •Моменты инерции дуги
- •Механические приложения поверхностного интеграла первого рода
- •Статические моменты участка поверхности
- •Моменты инерции участка поверхности
|
|
|
Вариант 20 |
|
|
6 |
|
6x |
|
1. |
∫dx |
|
∫ f (x, y)dy . |
|
|
0 |
− |
6x−x2 |
|
2. |
S : x2 |
+ y2 =a2; S : x + y +z =3a; S : z =0. |
||
|
1 |
|
2 |
3 |
3.S1 : z = x2 + y2 ; S2 : z =1; δ(x, y, z) = x2 .
4.S1 : x2 + y2 + z2 = a2 ; S2 : x2 + y2 = z2 ; (z ≥ 0); P: z =0.
5.Найти центр тяжести однородной дуги окружности радиуса a
при центральном угле 2ϕ.
6. |
Вычислить массу части сферы |
x2 + y2 + z2 = a2 , |
находящейся в первой октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), если плотность в каждой ее точке равна расстоянию от точки до оси OZ.
7.U (x, y, z)= ln(3 − x2 ) + xy2z , M (1; 3; 2) , l =−i +2 j −2k .
8. |
ar = (x + y)ir +2x2 yrj , L – отрезок MN , M (1, −1), N(1, 2). |
||
9. |
ar = (x − y) i + 2( y − z) k , |
S : y = 2(x2 |
+ z2 ) , |
|
|
1 |
|
S2 : |
y = 2 . |
|
|
10.ar = x2 yir− xy2 rj , Γ: x2 + y2 = 9 .
11.ar = ex sin y ir + ex cos y rj + kr .
74
Вариант 21
43 y
1.∫dy ∫ f (x, y)dx .
−1 y2 −4
2. |
S : z = x2 |
+ y2 ; |
S |
2 |
: x + y =1; |
S |
3 |
: x = 0 ; |
S |
4 |
: y = 0 ; |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
S5 : z =0 .
3. |
S : z = x2 |
+ y2 ; S |
2 |
: 2 − z = x2 + y2 ; |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ(x, y, z) = x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
S : x2 + y2 |
+ z2 = a2 , S |
2 |
: 3(x2 + y2 ) = z2 , |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S : x2 + y2 =3z2 , |
S |
4 |
: x = 0 , |
S : y =0, |
x ≥ 0 , |
y ≥ 0 ; |
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
P : z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Вычислить |
массу |
прямолинейного стержня AB , |
где |
||||||
A(0, − 2), B(4, 0) |
, если |
плотность в каждой его |
точке обратно |
пропорциональна расстоянию до начала координат.
6.Вычислить момент инерции относительно оси Oz однородной
сферы x2 + y2 + z2 = a2 , расположенной в первой октанте.
7. |
U (x, y, z)= sin(x + 2 y) + |
|
xyz , |
M (π |
; |
3π |
; 3) , l |
= 4ir + 3 rj . |
|||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
ar |
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
M (0, 0, 0), |
|
8. |
+ z2 |
|
|
|
L |
- |
отрезок |
|
|
MN , |
|||||||||
= y2 i |
j + x2 |
k , |
|
|
|||||||||||||||
N(1,1,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
ar = −xir +3zk , S : x = 6 − z2 |
− y2 , S |
2 |
: x = 2 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
2 |
|
r |
|
|
= x |
2 |
+ y |
2 |
−1 |
|
|
|||
10. |
= y i +3x j |
+ z |
k , |
|
z |
|
|
. |
|
||||||||||
a |
|
Γ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
11.ar = (2xy + z2 )ir + (2 yz + x2 )rj +(2xz + y2 )kr.
75
Вариант 22
|
3 |
y |
9 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∫dy ∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
3 |
|
y−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
S : z = 4 − x2 ; |
S |
2 |
: 2x + y = 4 ; |
S |
3 |
: x = 0 ; |
S |
4 |
: y = 0 ; |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S5 : z =0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
S : x2 + y2 + z2 = 4z; S |
2 |
: z =1, (z <1) . |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
S |
: x2 + y2 +z2 |
=25; |
|
S |
2 |
: x2 + y2 |
+ z2 =16; |
S |
3 |
: x = 0 ; |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S4 : y = 0 , S5 : z = 0 . P : x = 0 .
5.Вычислить длину дуги линии y =1 −ln(cos x), при 0 < x < π4 .
6.Найти координаты центра тяжести однородной части
сферической поверхности x2 + y2 + z2 = a2 , лежащей в первом
октанте.
7. U (x, y, z)= x2 y2z −ln(z −1) , M (1; 1; 2) , l = 5ir −6 rj + 2 5k .
8. |
r |
=(2a −y) i +x j , |
x = a(t −sin t) |
, |
M (0, 0), |
|
a |
L : циклоида: |
−cost) |
||||
|
|
|
y = a(1 |
|
|
N(2πa, 0).
9. |
ar = −x i − y j + 3z k , S : 9 − y = x2 |
+ z2 , |
S |
2 |
: y = 0 , |
|
1 |
|
|
|
(y ≥0), S3 : x = 0 , (x ≥ 0), S4 : z = 0 , (z ≥ 0).
r |
r |
r |
2 |
r |
|
2 |
+ y |
2 |
=z |
2 |
= 2 yzi |
+ xzj + y |
k , |
x |
|
|
. |
||||
10. a |
|
Γ: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =1 |
|
|
|
11.ar=(10xy −8y) ir+(5x2 −8x −3) rj .
76
Вариант 23
|
− 3 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1. |
∫ dx ∫ f |
(x, y)dy + ∫ dx ∫ f ( x, y)dy . |
|
|
|
|
||||
|
−2 |
− 4−x2 |
|
− 3 |
|
4−x2 −2 |
|
|
|
|
2. |
S : z = 4x2 |
+2 y2 +1; |
S |
2 |
: x + y −3 = 0 ; |
S |
3 |
: x = 0 |
, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
S4 : y = 0 ; S5 : z =0 .
3. |
S : x2 + y2 |
= z , S : x2 |
+ y2 =2z −4. |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
4. |
S : x2 + y2 +z2 =2Rz, P : z = 0 . |
|
|
||
5. |
Вычислить |
массу контура треугольника |
OAB , |
где |
|
O(0,0), A(−1,0), B(0,1), если |
плотность в каждой |
его |
точке |
δ(x, y)= x + y .
6.Найти момент инерции однородной части поверхности конуса
z2 = 4 (x2 + y2 )при 0 < z < 2 относительно оси OZ.
7. |
U (x, y, z)= x3 + y2 + z2 , M (1; −3; 4) , l = rj −k . |
8. |
ar = sin y i +sin x j , L : отрезок MN , M (0, π), N(π, 0). |
9.ar = z ir + xz rj + y k , S1 : x2 + z2 = 4 − y , S2 : y =0, ( y ≥ 0) .
10.ar =(x − y +3z)ir+(y −3x + z)rj +(x −3y + z) k ,
Γ: |
|
2x +3y +6z = 3 |
. |
|
|
||
|
x = 0, y = 0, z = 0 |
|
|
11. |
|
ar = (4x3 y3 − 3y2 + 5)i + (3x4 y2 − 6xy − 4)j . |
77