Вопрос 1. Природа математического мышления

А. Предмет и методы мат-ки. Мат-ка как язык науки; Б. Специфика математич. рассуждений; В. Аксиоматич. метод; Г. Фундаменталистское и нефунд. направления в философии математики.

Для понимания мат-ки как науки важно уяснить особенности ее предмета и метода, закономерности ее развития, пути обоснования мат. теорий. Попытки ответить на этот вопрос составляют суть философского анализа математики.

А). Предмет мат-ки – менялся на разных этапах ее развития. Сначала считали, что предмет мат-ки – закономерности, объекты присущие реальному миру. Пуанкаре: «Мат-ка изучает опред. виды договоренностей между учеными». Методы мат-ки: 1. дедуктивный (частное из общего), 2. аксиоматич. (Гильберт), 3. моделир-е (выявление закономерности, описание ур-ями, интерпр-я), следовательно эвристичность моделирования (получение нового знания).

Мат-ка как язык науки. В философии мате-ки принято различать 3 аспекта используемого языка: 1. синтаксич. (предполагает рассмотрение языка как совокупности знаков, которые преобразуются по определенным правилам и формируют в своих связях определенную систему). 2. семантич. (предполагает нахождение объектов и их связей, которые образуют непосредственный смысл терминов и высказываний языка). 3. прагматический (использование языка в практической деятельности) – язык как инструмент мышления, коммуникации; получение нового знания.

Б). Специфика математических рассуждений: С.А.Яновская «Математик обязан точно указывать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами, не содержащимися в определении и не вытекающими из него». Следовательно, формальные, правдоподобные рассуждения. Доказательство или опровержение. Следовательно, требование к логической строгости (сложилось к к XIX в.в аксиоматическом методе)

В) Аксиоматич. метод – способ построения научной теории, при котором в основу кладутся некоторые исходные положения, а все остальные предположения теории получаются как логические следствия аксиом. До середины XIX в. – период содержательной аксиоматизации; посл.четв.XIX в – период полуформальной аксиоматизации; нач. XX в. – период формальной аксиоматизации. Зародилась в трудах древнегреческих геометров: «Начала» Евклида (наиболее совершенное содержательное аксиоматическое построение геометрии как основы математики). Содержательный характер аксиоматики был поставлен под сомнении в 1п. XIX в.

1926 г. – Лобачевский «V постулат Евклида лежит в основе теории параллельных прямых»

(V постулат - к данной прямой через данную вне ее точку можно провести не более одной параллельной прямой). Существуют другие геометрии, в которых V постулат не выполнен. Следовательно, во 2 п. XIX в. стало ясно, что каждая математическая теория допускает различные интерпретации. Следовательно, целесообразность аксиоматического построения математических теорий, при котором любая из них выставляется как общая теория.

1899 г. – Гильберт «Основания геометрии» (полная система аксиом Евклидовой геометрии, окончательные осознанные принципы построения аксиоматического метода и аксиоматической теории) – выбор основных неопределенных понятий; задание системы аксиом, описывающих свойства основных понятий; создание теорем, выведенных из аксиом; определение новых понятий через основные. Требования к системе аксиом: непротиворечивость, независимость (аксиому нельзя вывести из остальных), полнота

Г. Фундаменталистское и нефунд. направления – 2 основных направления в философии математики. Фунд. – выявление сущности математики без учета конкретного исторического и культурного контекста. Логицизм (сведение математических понятий к логике) – Лейбниц. Рассел; Интуиционизм (математика – совокупность интуитивно убедительных умственных построений) – Брауэр, Гейтинг. Не фунд. – решение проблем выявления концепции развития математики, поиск схем развития. Уайлдер – «Математика как культурная система», Лакатос «Док-ва и опровержения. Как доказываются теоремы». Три ветви нефунд. направления: историческая (восходит к концепциям научных революций Куна), ветвь социальной детерминизации (зависимость от социальных взаимоотношений, религии, национальных особенностей), ветвь культурной детерминизации (когнитивная и деятельностная). Предвидение будущего математики – одна из важнейших и актуальных проблем нефундаментальной философии математики, в русле которой ведется анализ развития математики, выявление закономерностей этого развития.