- •Содержание
- •Глава 1. История развития учения о радиоактивности 7
- •Глава 2. Общие сведения о строении 15
- •Глава 3. Радиоактивный распад 35
- •Глава 4. Виды радиоактивных превращений (физические основы) 57
- •Глава 5. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом 88
- •Глава 6. Детекторы ионизирующих излучений 125
- •Глава 7. Методы измерения ионизирующих излучений 168
- •Глава 8. Статичтическая обработка радиометрических измерений 186
- •Предисловие
- •Глава 1. История развития учения о радиоактивности
- •Глава 2. Общие сведения о строении и свойствах ядер
- •2.1 Элементарные частицы
- •2.2 Свойства атомных ядер
- •2.3 Масса ядра и энергия связи
- •2.4 Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения
- •2.4.1 Вопросы для самоконтроля
- •2.4.2 Задачи
- •Глава 3. Радиоактивный распад
- •3.1 Основной закон радиоактивного распада
- •3.2 Статистический характер радиоактивного распада
- •3.3 Радиоактивный распад в природе
- •3.4 Последовательный распад радиоактивных ядер. Радиоактивное равновесие
- •3.5 Определение периода полураспада
- •3.6 Определение возраста минералов
- •3.7 Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения
- •3.7.1 Вопросы
- •3.7.2 Задачи
- •238U (4,51109 лет) → 234Th (24,1 суток) →.
- •Глава 4. Виды радиоактивных превращений (физические основы)
- •4.1 Альфа-распад
- •4.2 Бета-распад
- •4.2.1. Особенности бета-распада
- •4.2.2 Схемы бета-распада
- •4.2.3 Условия бета-распада
- •4.2.4 Бета-спектр и факторы, влияющие на его формирование
- •4.3 Фотонное излучение
- •4.3.1 Гамма-излучение
- •4.3.2 Место гамма-излучения в электромагнитном спектре
- •4.3.3 Рентгеновское излучение
- •4.4 Спонтанное деление ядер
- •4.5 Вопросы для самоконтроля
- •Глава 5. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом
- •5.1 Взаимодействие альфа-частиц с веществом
- •5.2 Взаимодействие электронов и позитронов с веществом
- •5.3 Черенковское излучение
- •5.4 Взаимодействие гамма-квантов с веществом
- •5.4.1 Фотоэффект
- •5.4.2 Комптоновское рассеяние γ-квантов
- •5.4.3 Эффект образования пары
- •5.4.4 Ослабление гамма-излучения в веществе
- •5.5 Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения
- •5.5.1 Вопросы
- •5.5.2 Задачи
- •Глава 6. Детекторы ионизирующих излучений
- •6.1 Газонаполненные ионизационные детекторы
- •6.1.1 Ионизационные камеры
- •6.1.2 Пропорциональные счетчики
- •6.1.3 Счетчики Гейгера-Мюллера
- •6.2 Сцинтилляционные детекторы
- •6.2.1 Основные характеристики сцинтилляторов
- •6.2.2 Основные виды и типы сцинтилляторов
- •6.2.3 Фотоэлектронные умножители (фэу)
- •6.3 Полупроводниковые (твердотельные) детекторы
- •6.3.1 Физические основы полупроводниковых детекторов
- •6.3.2 Принцип действия полупроводниковых детекторов
- •6.3.3 Типы полупроводниковых детекторов
- •6.4 Вопросы для самоконтроля
- •Глава 7. Методы измерения ионизирующих излучений
- •7.1 Радиометрия
- •7.1.1 Абсолютная и относительная активность
- •7.1.2 Радиометр как цепь измерительных преобразователей
- •7.2 Спектрометрия
- •7.2.1 Гамма-спектрометрия
- •7.2.2 Альфа-спектрометрия
- •7.3 Вопросы для самоконтроля
- •Глава 8. Статичтическая обработка радиометрических измерений
- •8.1 Общие положения
- •8.2 Распределение Пуассона при радиометрических измерениях
- •8.3 Погрешность скорости счета
- •8.4 Определение необходимого времени проведения радиометрических измерений с заданной точностью
- •8.5 Проверка правильности работы счетной аппаратуры
- •8.6 Оценка погрешности результата вычислений
- •8.7. Вопросы для самоконтроля
- •Рекомендованная литература
- •Приложение Радиоактивные семейства
3.4 Последовательный распад радиоактивных ядер. Радиоактивное равновесие
Распад исходного или материнского ядра может происходить не только с образованием стабильного ядра, но и ядра, которое является радиоактивным. В этом случае закон радиоактивного распада для всей системы ядер будет выглядеть по иному.
Для системы из n генетически связанных радиоактивных ядер значения для каждого ядра в этой задаче определяются из системы уравнений, характеризующих распад и накопление числа радиоактивных атомов нуклидов семейства:
, (3.24)
где – соответствует постоянной распада ядра.
Решение системы уравнений дает число радиоактивных атомов отдельных нуклидов:
(3.25)
Или если учесть, что , то получим соотношение для активностей дочерних продуктов:
(3.26)
Вывод уравнений (3.25) и (3.26) в общем виде достаточно сложен, поэтому ограничимся лишь выводом уравнения для наиболее важного случая: образования дочернего радионуклида из материнского. Помимо радиоактивных семейств, где обычно для расчета активности достаточно использовать представленные ниже уравнения, необходимо отметить, что эти уравнения используют и для расчета активности в так называемых «изотопных генераторах», когда период полураспада материнского радионуклида во много раз больше периода полураспада дочернего. Классическим примером изотопного генератора является пара 90Sr (29,1 года) → 90Y (64,1 час) →. Достоинством изотопных генераторов является возможность многократно получать дочерний радионуклид с активностью, практически равной активности материнского. Следует отметить, что при этом не происходит никакого нарушения законов сохранения. Законы сохранения действительны для массы, числа нуклонов, заряда и т.д., тогда как активность является производной числа ядер определенного вида по времени.
Дифференциальное уравнение для расчета числа ядер дочернего радионуклида N2 имеет вид
, (3.27)
где индекс «1» относится к материнскому радионуклиду.
Уравнение (3.27) отличается от дифференциального уравнения закона радиоактивного распада (3.2) наличием в правой части второго члена, который показывает непрерывное образование дочернего радионуклида из материнского. При отсутствии второго члена интегрирование уравнения (3.27) привело бы к интегральному уравнению закона радиоактивного распада (3.4).
Дифференциальное уравнение (3.27) относится в математике к классу дифференциальных уравнений с правой частью. Для их интегрирования применяется замена переменных:
; . (3.28)
Подставляя (3.28) в (3.27) и группируя аналогичные члены, получим:
. ( 3.29)
В уравнении (3.29) первый член в левой части приравнивают 0. Тогда
. (3.30)
Подставляя (3.30) в (3.29), получим:
. (3.31)
Интегрирование (3.31) приводит к
. (3.32)
или
. (3.33)
Постоянную интегрирования C определяем из условия: при t = 0 N2 = N20:
, (3.34)
. (3.35)
Подставив (3.35) в (3.33), получим:
. (3.36)
Уравнение (3.36) можно записать и через активности, умножив левую и правую часть на λ2:
. (3.37)
Уравнения (3.36) и (3.37) можно упростить для некоторых конкретных условий. Для начала можно пренебречь начальной активностью дочернего радионуклида и вынести exp(–λ1t) из-под скобки, тогда
. (3.38)
1. Вековое равновесие. Положим, что период полураспада материнского радионуклида (Т1/2)1 много больше, чем у дочернего (Т1/2)2. Это эквивалентно неравенству λ2 λ1.Тогда уравнение (3.38) примет вид
. (3.39)
Уравнение (3.39) показывает, что с увеличением времени активность дочернего радионуклида приближается к активности материнского и в пределе становится равным ей. Тогда при t → ∞
. (3.40)
Уравнение (3.40) выражает вековое равновесие.
Чтобы определить скорость достижения векового равновесия, надо учесть (3.11), и тогда уравнение (3.39) примет вид
, (3.39а)
где – число периодов полураспада дочернего радионуклида.
Уравнение (3.39а) показывает, что скорость установления векового равновесия зависит только от периода полураспада дочернего радионуклида. Через один период полураспада накапливается половина максимального количества дочернего радионуклида, через два – три четверти, через три – семь восьмых и т.д. Через 10 периодов полураспада дочернего радионуклида его активность меньше максимальной на 1/1024, и это время обычно условно принимается как время наступления векового равновесия. В дальнейшем активности, как первого, так и второго радионуклидов, а также и последующих будут меняться во времени одинаково. То есть, устанавливается вековое равновесие, при котором число ядер изотопов в цепочке последовательных распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) соотношением:
. (3.41)
Радиоактивным равновесием называют состояние системы, содержащей материнский и связанные с ними дочерние нуклиды, при котором соотношение количеств материнского и дочерних нуклидов не меняется со временем. К состоянию радиоактивного равновесия приводит конкуренция процессов распада и накопления дочерних нуклидов в тех случаях, когда (Т1/2)1 (Т1/2)2 и t (Т1/2)2.
Можно обобщить этот результат для большего числа последовательных распадов при условии (Т1/2)1 (Т1/2)i:
. (3.41а)
Поэтому в естественном состоянии все изотопы, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада.
2. Подвижное равновесие. Если и различаются не более чем в 5-10 раз, то в этом случае говорят о подвижном равновесии, и тогда из уравнения (3.38) можно найти соотношение между количествами ядер материнского и дочернего нуклида
. (3.42)
Переходя от количеств генетически связанных радионуклидов к их активностям, получим:
. (3.43)
Из уравнения видно, что при подвижном равновесии активность дочернего нуклида больше активности материнского в .
Характерные кривые для векового и подвижного равновесий представлены на рис. 3.1 и 3.2.
Рис. 3.1. Подвижное равновесие при (Т1/2)1 = 8 ч; (Т1/2)2 = 0,8 ч.
a – полная активность препарата, содержащего первоначально очищенный материнский и накапливающийся дочерний изотоп; б – прямая, характеризующая распад материнского изотопа; в – кривая изменения активности дочернего изотопа; г – прямая, характеризующая распад чистого дочернего изотопа.
3. Отсутствие равновесия. Если соотношение периодов полураспада материнского и дочернего радионуклидов таково, что (Т1/2)1 (Т1/2)2, то это означает, что материнский радионуклид распадается быстрее дочернего и равновесие не достигается.
Рис. 3.2. Вековое равновесие при (Т1/2)1 = ∞, (Т1/2)2 = 8 ч.
(Обозначения те же, что и на предыдущем рисунке)