3.2 Статистический характер радиоактивного распада

Радиоактивный распад является статистическим процессом. То есть конкретное радиоактивное ядро может распасться в любой момент времени, а закономерности процесса будут наблюдаться только в случае распада достаточно большого количества ядер. Более того, количество распавшихся ядер n за время t является случайной величиной, распределенной по биноминальному закону.

Пусть N – общее количество ядер определенного вида, а p_t – вероятность распада отдельного ядра за промежуток времени t. Тогда вероятность распада n ядер за время t будет равна:

, (3.14)

где C_Nⁿ – число сочетаний из N по n, равное

(3.15)

, (3.16)

где суммирование проводится по n = 0÷N.

Основными характеристиками случайной величины, распределенной в соответствии с некоторым законом, являются математическое ожидание M и дисперсия D. Для биноминального распределения имеем:

(3.17)

, (3.18)

где суммирование проводится по n=0÷N.

Биноминальное распределение не очень удобно для расчетов и используется лишь при обработке экспериментальных данных с бедной статистикой (например, когда происходит распад нескольких десятков радиоактивных ядер). В других же случаях применяется распределение Пуассона:

. (3.19)

Условиями, при которых биноминальное распределение переходит в распределение Пуассона, являются следующие: N→∞, p_t = << 1. Тогда уравнение (3.14) c использованием (3.15) принимает вид:

. (3.20)

В правой части уравнения (3.20) имеем произведение трех членов, из которых предельные значения второго и третьего надо найти при N → ∞:

.

Тогда из (3.20) получим уравнение, совпадающее с (3.19):

.

У распределения Пуассона есть замечательное свойство: математическое ожидание равно дисперсии распределяемой величины:

. (3.21)

Чтобы получить уравнение (3.21), достаточно найти при N → ∞ lim(1 – p_t) = 1. Тогда значения в правой части уравнений (3.17) и (3.18) становятся равными. Отметим два следствия уравнения (3.21):

1. Нет необходимости проводить специальные эксперименты для определения дисперсии измеряемой величины. В одном эксперименте получают оценку среднего и оценку дисперсии.

2. Сравнение дисперсии, определяемой по уравнению (3.21), с выборочной дисперсией, определяемой по k параллельным измерениям, позволяет проверить правильность работы счетной аппаратуры.

Необходимо пояснить смысл перехода биноминального распределения в распределение Пуассона при N → ∞. Практически такой переход становится возможным, если в процессе эксперимента можно пренебречь изменением N.

3.3 Радиоактивный распад в природе

В отличие от Рентгена Беккерель открыл, а не изобрел радиоактивность. Радионуклиды достаточно широко распространены в природе и могут быть разделены на 3 большие группы: а) индивидуальные первичные радионуклиды, образовавшиеся вместе с Землей и имеющие период полураспада порядка 10⁹ лет и больше; б) радионуклиды, входящие в радиоактивные семейства ²³⁸U, ²³⁵U и ²³²Th; в) космогенные радионуклиды ³H, ¹⁴C, ⁷Be, ²²Na и некоторые другие, которые непрерывно образуются при попадании космического излучения в атмосферу Земли.

Из первой группы радионуклидов наиболее важным является ⁴⁰К, содержание которого в естественной смеси изотопов составляет 0,0118 % масс. и у которого период полураспада составляет 1,28·10⁹ лет. Активность природного калия составляет примерно 30 Бк/г, а так как калий является жизненно важным элементом, то не будет преувеличением сказать, что все живые организмы в той или иной степени радиоактивны. В значительной степени фоновое излучение почв также определяется содержанием в них ⁴⁰К. Другим важным радионуклидом является аналог калия ⁸⁷Rb с периодом полураспада 4,8·10¹⁰ лет. Кроме того, слабая радиоактивность обнаружена у ¹³⁸La, ¹¹³Cd («исключения» из правила Маттауха), ¹⁸⁶Os, ¹⁹⁰Pt и некоторых других ядер.

Кроме индивидуальных радионуклидов в природе существуют три радиоактивных семейства с родоначальниками ²³⁸U (T_1/2 = 4,468·10⁹ лет) , ²³⁵U (T_1/2 = 7,038·10⁸ лет) и ²³²Th (T_1/2 = 1,405·10¹⁰ лет). Внутри семейства продукты распада, кроме последнего, радиоактивны, и испускание альфа-частиц чередуется с испусканием бета-частиц. Содди и Фаянсом были сформулированы правила сдвига (или смещения):

1) при испускании альфа-частицы заряд ядра уменьшается на 2 единицы, а массовое число на 4;

2) при испускании бета-частицы заряд ядра увеличивается на 1 единицу, а массовое число остается неизменным.

Легко видеть, что правила сдвига являются следствием выполнения законов сохранения при радиоактивном распаде:

Э → Не + Э при альфа-распаде,

Э → e^- + Э при β^–-распаде.

В соответствии с правилами сдвига массовые числа радионуклидов, входящих в какое-либо семейство, могут различаться на число, кратное 4. Тогда могут существовать лишь 4 радиоактивных семейства:

1. 4n – семейство ²³²Th, конечный нуклид Pb.

2. 4n+1 – семейство ²³⁷Np, конечный нуклид Bi.

3. 4n+2 – семейство ²³⁸U, конечный нуклид Pb.

4. 4n+3 – семейство ²³⁵U, конечный нуклид Pb.

Второе семейство в природе не существует из-за слишком малого периода полураспада ²³⁷Np ( 2,144·10⁶ лет) по сравнению с возрастом Земли: за время существования Земли (порядка 4·10⁹ лет) он полностью распался. Однако ²³⁷Np образуется в больших количествах в ядерных реакторах, работающих на уране. Он пока не находит применения и является балластным радионуклидом.

Для того, чтобы определить количество альфа-распадов при превращении начального нуклида Э_н в конечный нуклид Э_к, используют простое равенство:

, (3.22)

где подстрочечные индексы «н» и «к» относятся к начальному и конечному нуклидам.

Для определения количества β^ˉ-распадов используют следующую формулу:

. (3.23)

С помощью уравнений (3.22) и (3.23) можно рассчитать число альфа- и β^–-распадов в соответствующих рядах (таблица 3.1).

Таблица 3.1 – Количество альфа- и бета-распадов, приходящихся на 1 распад материнского ядра

Семейство	Материнский нуклид	Последний член	Nα	Nβ
4n			6	4
4n + 1			7	4
4n + 2			8	6
4n + 3			7	4

С открытием искусственной радиоактивности было получено и изучено большое количество трансактиниевых нуклидов, в результате чего было обнаружено не только существование нового радиоактивного семейства нептуния. Было также показано, что известные семейства естественных радионуклидов являются, в действительности, более многочисленными и имеют многих родоначальников и несколько побочных ветвей. Схемы радиоактивных семейств приведены в Приложении.